평행사변형

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정의에 따른 평행사변형의 그림

평면 기하에서 평행사변형(平行四邊形)은 두 쌍의 대변이 각각 평행사각형이다. 유클리드 기하에서 평행사변형의 대변 또는 마주보는 두 변은 길이가 같고 대각의 크기가 같으며, 이는 유클리드 기하의 평행선 공준의 직접적인 결과이다. 3차원에서는 평행육면체가 대응된다.

성질[편집]

평행사변형에서 두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분 한다.[편집]

증명[편집]

 \triangle EAB  \triangle ECD 에서  \overline{AB} \parallel \overline{DC} 이므로

 \angle EAB =  \angle ECD (엇각) ……(1)
 \angle EBA =  \angle EDC (엇각) ……(2)

또, 평행사변형에서 대변의 길이는 같으므로

 \overline{AB} = \overline{DC} ……(3)

(1), (2), (3)에 의해 한 변의 길이가 서로 같고, 그 양 끝각의 크기가 각각 서로 같으므로

 \triangle EAB \equiv \triangle ECD

 \therefore  \overline{EA} = \overline{EC},  \overline{EB} = \overline{ED} 이다.

두 쌍의 대변의 길이는 각각 같다.[편집]

증명[편집]

 \triangle ABC  \triangle CDA 에서  \overline{AB} \parallel \overline{DC} 이고  \overline{AD} \parallel \overline{BC} 이므로

 \angle BAC =  \angle DCA (엇각) ……(1)
 \angle ACB =  \angle CAD (엇각) ……(2)
 \overline{AC} 는 공통인 변이다. ……(3)

(1), (2), (3)에 의해 한 변의 길이가 서로 같고, 그 양 끝각의 크기가 각각 서로 같으므로

 \triangle ABC \equiv \triangle DCA

따라서

 \overline{AB} =  \overline{DC}, \overline{AD} =  \overline{BC}

이다.

두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.[편집]

증명[편집]

 \overline{BC} 를 C 방향으로 연장해서 그 위의 임의의 점을 E 라고하자.

 \angle D = \angle DCE = \angle B (동위각, 엇각)

같은 방법으로  \angle A = \angle C 이다.

넓이[편집]

  • 밑변의 길이를 a 그에 대한 높이를 h라 하면,
S=ah
  • 이웃하는 두 변을 각각 a , b 그 끼인각의 크기를 \theta라 하면,
S=ab \sin \theta

특징[편집]

대각선을 그은 평행사변형
  • 평행사변형은 사다리꼴이다.
  • 마름모직사각형은 평행사변형이다.
  • 두 벡터의 합을 구할 때 평행사변형법이 사용된다. 오른쪽 그림에서, DC 벡터와 DA 벡터의 합벡터는 DB 벡터이다.

조건[편집]

  • 사각형 ABCD가 평행사변형일 필요충분조건들은 다음과 같다.
두 쌍의 대변이 평행하다.(정의)
두 쌍의 대변의 길이가 같다.
두 쌍의 대각의 크기가 같다.
두 대각선이 서로를 이등분한다.
한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다.

종류[편집]

사각형의 종류

바깥 고리[편집]