심플렉틱 군

수학에서, 심플렉틱 군(symplectic group) 또는 사교군(斜交群)은 고전적 행렬 리 군의 하나다.

정의

심플렉틱 군 Sp(2n,F)

$F$가 체라고 하자. 다음과 같은 $2n\times2n$ 행렬을 정의하자.

$\Omega=\begin{pmatrix}0&I_n\\-I_n&0\end{pmatrix}\in\operatorname{GL}(2n,F)$

여기서 $I_n$은 $n\times n$ 단위행렬이다.

그렇다면 $\operatorname{Sp}(2n,F)$는 $M^T\Omega M=\Omega$를 만족하는 $2n\times2n$ 행렬 $A$들의 곱셈군이다. 즉,

$\operatorname{Sp}(2n,F)=\{M\in\operatorname{GL}(2n,F)|M^T\Omega M=\Omega\}$.

이 성질을 만족하는 행렬을 심플렉틱 행렬이라고 한다.

실수 심플렉틱 군 $\operatorname{Sp}(2n,\mathbb R)$은 $n(2n+1)$ (실수) 차원의 연결 리 군이다. 이는 컴팩트하지 않고, 그 기본군은 $\mathbb Z$이다.

복소 심플렉틱 군 $\operatorname{Sp}(2n,\mathbb R)$은 $n(2n+1)$ 복소 차원의 연결 단일연결 리 군이다. 이는 컴팩트하지 않다.

유니터리 심플렉틱 군 USp(2n)

유니터리 심플렉틱 군 $\operatorname{USp}(2n)$은 $2n\times2n$ 유니터리 심플렉틱 복소 행렬의 리 군이다. 즉,

$\operatorname{USp}(2n)=\operatorname U(2n)\cap\operatorname{Sp}(2n,\mathbb C)$

이다. 간혹 USp(2n)을 Sp(n)으로 쓰기도 한다. 하지만 이는 Sp(n,F)와 다른 군이다.

유니터리 심플렉틱 군 $\operatorname{USp}(2n)$은 사원수의 유니터리 군 $\operatorname{U}(n,\mathbb H)$과 같다.

유니터리 심플렉틱 군 $\operatorname{USp}(2n)$은 $n(2n + 1)$ (실수) 차원의 컴팩트 연결 단일연결 리 군이다.

유니터리 심플렉틱 군은 다음과 같은 포함 관계를 가진다.

$\operatorname{USp}(2n) \supset \operatorname{USp}(2n-2)$

$\operatorname{SU}(2n)\supset\operatorname{USp}(2n) \supset \operatorname{SU}(n)$

$\operatorname{USp}(4) \supset\operatorname{O}(4)$

$F_4 \supset \operatorname{USp}(8)$

$G_2 \supset \operatorname{USp}(2)$.

참고 문헌

• Fulton, William, Joe Harris (1991). 《Representation theory. A first course》, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer. ISBN 978-0-387-97495-8
• Goodman, Roe, Nolan R. Wallach (2009). 《Symmetry, Representations, and Invariants》, Graduate Texts in Mathematics 255, New York: Springer. doi:10.1007/978-0-387-79852-3. ISBN 978-0-387-79851-6
• Grove, Larry C. (2002). 《Classical Groups and Geometric Algebra》, Graduate Studies in Mathematics 39, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2019-3
• (영어) Eric Wolfgang Weisstein. Symplectic group. 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.

같이 보기

• 심플렉틱 다양체
• 심플렉틱 행렬