칼라비-야우 다양체

칼라비-야우 다양체(Calabi-丘 多樣體, 영어: Calabi–Yau manifold)는 홀로노미가 SU(n)의 부분군인 컴팩트 켈러 다양체다. 미분 기하학과 대수 기하학에서 다룬다. 끈 이론에서 시공의 축소화에 쓰인다.

정의

켈러 다양체는 리만 구조, 복소 구조, 심플렉틱 구조를 모두 갖춘 다양체로, 일반적으로 복소 n차원의 켈러 다양체는 U(n)의 부분군인 홀로노미를 지닌다. 그 가운데 칼라비-야우 다양체는 컴팩트하고 SU(n)의 부분군인 (대역적) 홀로노미를 지닌 것이다. SU(n) 홀로노미를 지녀야 한다는 조건은 다음 가운데 아무 하나와 동등하다.

• 어디서도 0이 아닌 정칙 n-형식이 다양체 위에 존재한다.
• 복소 구조의 구조군(structure group)이 SU(n)의 부분군이다. (일반적 켈러 다양체의 구조군은 U(n)이다.)
• 자명한 정준 다발을 지닌다.

일부 저자는 칼라비-야우 다양체를 좀 더 일반적으로, 대역적 홀로노미 대신 SU(n)의 부분군인 국소적 홀로노미를 지닌 컴팩트 켈러 다양체로 정의한다. 이 조건은 다음 가운데 아무 하나와 동등하다.

• 다양체의 리치 곡률이 0이다.
• 다양체의 복소 구조의 첫번째 실수 천 모임 $c_1(M;\mathbb R)\in H^{1,1}(M;\mathbb R)$이 0이다.
• 정준 다발을 충분히 거듭제곱하면 자명해진다.
• 자명한 정준 다발을 지닌 유한 피복공간이 존재한다.

이 정의 가운데, 리치 곡률이 0인 성질과 다른 성질들이 동등하다는 사실은 증명하기가 쉽지 않다. 이는 칼라비가 가설을 제시한 뒤, 야우가 증명하였고, 칼라비 가설 또는 야우 정리라 불린다.

두번째 정의는 첫번째 정의보다 일반적이다. 예를 들어 초타원 곡면(영어: hyperelliptic surface)는 첫번째 정의는 만족하지 않지만 두번째 정의는 만족한다. (첫번째 정의를 만족시키려면 그 이중 피복공간인 K3 곡면을 취하면 된다.) 다만 단일연결된 다양체의 경우 두 정의는 동등하다.

이 밖에도 실수 천 모임 대신 정수 천 모임 $c_1(M,\mathbb Z)$을 쓰거나, 컴팩트함을 요구하지 않거나, 홀로노미가 SU(n)의 부분군이 아니라 SU(n) 자체임을 요구하는 등 약간 다른 정의를 쓰는 저자도 있다.

두 정의 모두, 고다이라 차원(영어: Kodaira dimension)이 0이고, 첫번째 실수 및 적분 천 모임이 0이다.

모듈러스

$n$차원 칼라비-야우 다양체 $(M,J,\omega)$는 켈러 구조 $\omega$와 복소 구조 $J$를 지녔으므로, 켈러 모듈러스와 복소 모듈러스를 가진다.

켈러 모듈러스 공간의 접공간은 무한소의 (1,1)차 형식 $\epsilon\delta\omega_{i\bar\jmath}dz^i\wedge d\bar z^{\bar\jmath}$의 꼴이다. 리치 텐서가 0이라는 조건에 의하여, 이는 $O(\epsilon^2)$ 항을 제외하고는 조화형식을 이룬다. 따라서 켈러 모듈러스 공간의 차원은 그 (1,1)차 조화형식 공간의 차원과 같다. 호지 이론에 따라서, 이는 돌보 코호몰로지의 차원인 호지 수 $h^{1,1}(M)=\dim H^{(1,1)}(M)$으로 주어진다. 또한, 켈러 형식들의 집합은 볼록 뿔을 이루는데, 이는 켈러 형식들의 집합이 볼록 선형결합에 대하여 닫혀 있기 때문이다. (볼록 선형결합으로 국한하는 이유는 $\omega^n$이 부피 형식을 이뤄야 하기 때문이다.) 이를 켈러 뿔(Kähler cone)이라고 한다.

3차원 칼라비-야우 다양체의 경우, 복소 모듈러스 공간의 차원은 호지 수 $h^{2,1}(M)=\dim H^{(2,1)}(M)$에 의하여 주어진다.

예

복소 1차원 칼라비-야우 다양체는 (두 정의 다) 원환면밖에 없다. 복소 2차원 칼라비-야우 다양체 가운데 단일연결된 것은 (역시 두 정의 다) K3 곡면밖에 없다. 복소 3차원 칼라비-야우 다양체는 아직 잘 알려지지 않았으며, 심지어 유한개인지 아니면 무한개인지도 모른다. 일반적으로, n차원 복소사영공간 ℂℙ_n의 동차좌표에서 (n+1)차 동차다항식의 해는 (n−1)차원 칼라비-야우 다양체를 이룬다.

끈 이론에서의 응용

끈 이론에서, 칼라비-야우 다양체는 시공의 축소화를 나타낸다. 끈 이론에서는 10차원의 시공이 필요한데, 이를 실제 세계와 관련짓기 위해서는 이를 $\mathbb R^4\times X$ 꼴의 곱으로 축소화시켜야 한다. (여기서 $X$는 컴팩트 다양체다.) 손지기 페르미온을 나타내려면 2개 이상의 초대칭이 있을 수 없고, 현상론적으로 하나의 초대칭이 있는 모형이 유력하므로, 초대칭을 4차원에서 하나만 남기고 파괴하는 축소화를 찾아야 하는데, 칼라비-야우 다양체는 이러한 성질을 만족한다. 축소화하는 칼라비-야우 다양체에 따라 4차원 우주에 다른 입자 및 물리 법칙이 나타난다. 이 사실은 필립 칸델라스(Philip Candelas), 게리 호로위츠(Gary Horowitz), 앤드루 스트로민저, 에드워드 위튼이 1985년에 발견하였다.

참고 문헌

• Yau, Shing-Tung (2009년). Calabi-Yau manifold. 《Scholarpedia》 4 (8): 6524. doi:10.4249/scholarpedia.6524. MR2537089. ISSN 1941-6016.
• Gross, Mark, Daniel Huybrechts, Dominic Joyce (2003). 《Calabi-Yau Manifolds and Related Geometries: Lectures at a Summer School in Nordfjordeid, Norway, June 2001》, Universitext, Berlin: Springer. MR1963559. Zbl 1001.00028. ISBN 3-540-44059-3
• Hübsch, Tristan (1992년 3월). 《Calabi-Yau Manifolds: A Bestiary for Physicists》. Singapore: World Scientific. doi:10.1142/1410. MR1177829. Zbl 0771.53002. ISBN 978-981-02-0662-8