AdS/CFT 대응성

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양자 중력을 포함한 반 더 시터르 공간에 대한 등각 경계 위의 게이지 이론이리라 예상되는 등각 장론의 개념도

반 더 시터르 공간/등각 장론 대응성(영어: anti–de Sitter/conformal field theory correspondence, 약자 AdS/CFT) 또는 말다세나 이중성(영어: Maldacena duality)은 반 더 시터르 공간(AdS)을 남기고 축소화끈 이론과, 그보다 낮은 차원에서의 등각 장론(CFT)이 반 더 시터르 공간등각 경계에서 동등하다는 가설이다.[1][2][3][4][5]:638–683 축소화한 공간은 , 오비폴드, 혹은 비가환 공간 등이 쓰인다.

전개[편집]

D+1차원의 반 더 시터르 공간에 다음과 같은 좌표를 부여하자.

\ ds^2 = \frac1{z^2}\left(dz^2 + \eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu\right).

여기서 z\to0인 경계에서는 나머지 좌표가 D차원 민코프스키 계량 텐서를 지니게 된다. 이를 등각경계라고 부른다.

D차원 등각 장론에 샘(source) \textstyle\int d^Dx J_\text{CFT}(x)O(x)을 추가하자. 여기서 J_\text{CFT}(x)는 샘, O(x)는 게이지 불변 국소적 연산자다. 또한, AdS 공간에 마당 J를 도입하고, 여기에 다음과 같은 경계조건을 부여하자.

\lim_{z\to0}Jz^{\Delta-D+k} = J_{\text{CFT}}.

여기서 \DeltaO(x)의 등각차원이고, kO(x)의 공변지수의 수와 반변지수의 수의 차다. 이 경우 AdS/CFT 대응성은 이 두 이론이 다음과 같이 서로 대응한다고 예측한다.

\left\langle \mathcal{T}\exp\textstyle\int d^Dx J_\text{CFT}(x)O(x)\right\rangle_\text{CFT} = Z_\text{AdS}\left[\lim_{z\to0}Jz^{\Delta-D+k} = J_\text{CFT}\right]

좌변은 시간순서를 가한 연산자 지수의 진공 기대값이고, 우변은 등각 경계 조건을 가한 양자 중력 이론의 생성범함수다. 우변은 경계조건을 만족하는 유효 작용의 고전적 해를 구하여 계산한다.

일반적으로 다음과 같은 꼴의 대응 관계가 존재한다.

경계(boundary) 내부(bulk)
1차(primary) 국소적 연산자의 진공기댓값 양자장 (규격화 가능한 모드)
작용에 외부 연산자 삽입 양자장 (규격화 불가능한 모드)
에너지-운동량 텐서 계량 텐서 (중력자)
라그랑지언 딜라톤
유한한 온도 블랙홀
유한한 화학 퍼텐셜 대전 블랙홀

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AdS5/CFT4[편집]

AdS/CFT 대응성에 따라, AdS5×S5 공간(5차원 AdS 공간과 5차원 구의 곱) 위의 IIB형 끈 이론과 AdS5의 4차원 경계 위에서의 등각 장론\mathcal N=4 초대칭 SU(N) 양-밀스 이론이 서로 대응한다. \mathcal N=4 양-밀스 이론은 N개의 겹친 D3-막들의 세계면 위에 존재하는 초대칭 등각 장론이다. 이 이론의 R대칭군은 SU(4)인데, 이는 SU(4)=Spin(5)이 스핀 구조를 지닌 S^5자기동형사상군이기 때문이다. NS^5에 감긴 C4 라몽-라몽 장 전하량에 해당한다. (전하의 양자화에 따라 N은 항상 정수다.) 즉, 다음이 성립한다.

AdS5×S5 위의 IIB 끈 이론 = 겹친 D3-막 위의 초대칭 등각 장론

이 예는 최초로 알려진 AdS/CFT 대응성이었으며, 현재까지도 가장 잘 알려진 예이다.

이 식의 양변에 대응하는 값들은 다음과 같다.

AdS5×S5 10차원 IIB 끈 이론 \mathcal N=4 SU(N) 4차원 초등각 양-밀스 이론
N S5에 감긴 라몽-라몽 선속 N=\int_{S^5}F_5 게이지군 SU(N)의 차수 N
λ AdS5 및 S5의 반지름 R=\lambda^{1/4}\sqrt{\alpha'}=\sqrt[4]{4\pi g_\text{s}N}\ell_\text{s} 엇호프트 결합 상수 \lambda=g_\text{YM}^2N
N\to\infty 극한 (λ 고정) IIB 초중력 평면 파인먼 도형 극한(영어: planar limit)
1/N 전개 (λ 고정) 섭동 이론 전개 (끈 세계면 오일러 지표에 대한 전개) 엇호프트 1/N 전개 (파인먼 도형 오일러 지표에 대한 전개)
gs 닫힌 끈 결합 상수 g_\text{s}=\exp(\Phi) (\Phi딜라톤) 양-밀스 결합 상수 g_\text{YM}=\sqrt{4\pi g_{\text{s}}}
θ 라몽-라몽 스칼라(액시온) \theta=2\pi C_0 CP 위반 각도 θ
τ 액시오딜라톤 \tau=i\exp(-\Phi)+C_0 복소 결합 상수 \tau=4\pi i/g_\text{YM}^2+\theta/2\pi
모듈러 군 \operatorname{PSL}(2,\mathbb Z) IIB 끈 이론의 S-이중성군 몬토넨-올리브 이중성군
SU(4) S5자기동형사상군 SO(6) \mathcal N=4 초대칭R대칭군 SU(4)
SU(2,2) AdS5자기동형사상군 SO(2,4) 4차원 민코프스키 공간의 등각대칭군 SO(2,4)
PSU(2,2 | 4) AdS5×S5의 최대 초대칭 초군 4차원 민코프스키 공간\mathcal N=4 초등각대칭군

여기서 엇호프트 결합 상수(영어: ’t Hooft coupling constant)는 게이지 이론의 1/N 전개(영어: 1/N expansion)에 쓰이는 결합 상수다.

좌변에서의 국소적 연산자(영어: local operator)는 우변에서의 양자장(입자)에 대응하게 된다. 즉, 등각 장론을 외부 연산자로 변형시키는 것은 끈 이론에서 배경장(영어: background field)을 켜는 것과 같다. 또한, 등각 장론에서의 비국소적 연산자(윌슨 고리 따위)들은 끈 이론에서의 또는 D-막 따위를 켜는 것과 같다.

AdS5 초중력 대상 \mathcal N=4 SU(N) 4차원 초등각 양-밀스 이론 연산자
계량 텐서(중력자) G_{\mu\nu} 에너지-운동량 텐서
딜라톤 \Phi 양-밀스 라그랑지언 \operatorname{Tr}(F\wedge*F)
액시온 C_0 양-밀스 CP 위반항\operatorname{Tr}(F\wedge F)
칼루차-클라인 스칼라장 (SO(6)의 10차원 표현) \operatorname{Tr}(\psi_{(i}\psi_{j)})
칼루차-클라인 스칼라장 (SO(6)의 20차원 표현) \operatorname{Tr}(\phi_{(i}\phi_{j)})-\delta_{ij}\operatorname{Tr}(\phi_k\phi_k)/6
기타 칼루차-클라인 진동 모드 기타 스칼라 연산자
양 끝이 등각 경계에 붙어 있는 기본 끈 쿼크반쿼크 사이 윌슨 고리
양 끝이 등각 경계에 붙어 있는 D1-막 자기 홀극과 반자기 홀극 사이 윌슨 고리
S^5를 감는 D5-막 중입자 연산자

특히, D-막과 같은 비섭동적 끈 이론 대상 또한 등각 장론에서 대응하는 연산자들이 존재한다. 즉, AdS/CFT 대응성은 섭동적 초중력뿐만 아니라 비섭동적 끈 이론 전체를 포함한다는 것을 알 수 있다.

S5를 감는 D5-막의 경우, 전하 보존에 의하여 N개의 끈들이 붙어 있어야 한다.[6] 이 끈들의 다른 끝은 (다른 D-막이 없으므로) AdS5 등각 경계에 붙어 있다. 따라서, 이들은 N개의 외부 쿼크로 이루어진 외부 중입자에 해당한다. (N개의 색이 존재하므로, 중입자를 이루려면 N개의 쿼크가 필요하다.)

변종[편집]

N개의 D3-막의 사건 지평선 근처 기하를 고려하면 AdS5×S5를 얻는다. 대신, N개의 D3-막과 O3-평면을 생각하자. 그렇다면 그 지평선 근처 기하는 AdS5×ℝP5가 된다.[1]:§4.1.2 여기서 ℝP5는 5차원 실수 사영공간이다. N개의 D3-막은 오리엔티폴드에 의한 반사로 2N개처럼 보이게 된다. 이 경우, 게이지 군은 O3+-평면을 사용하면 USp(2N), O3-평면을 사용하면 SO(2N)을 얻는다. 또한, “½개”의 D3-막이 O3-막과 겹쳐 있다. 이 경우, 게이지 군이 SO(2N+1)이 된다.

지평선 근처에서, 오리엔티폴드 평면의 존재는 2차 미분형식 게이지장의 장세기로 나타난다. IIB종 끈 이론은 두 개의 2차 미분형식 게이지장을 포함하는데, 이는 B2(캘브-라몽 장)와 C2(2차 라몽-라몽 장)이다. 진공에서는 이들은 장세기가 0이어야만 하므로, 이들은 축소화 공간 \mathbb RP^5의 2차 (정수 계수) 코호몰로지의 원소다. 실수사영공간의 호몰로지 군은 (초구와 달리) 꼬임 부분군을 가진다. 즉,

B_2,C_2\in H^2(\mathbb RP^5,\mathbb Z)\cong\mathbb Z/2\mathbb Z

이다. 따라서 B2C2는 각각 두 가지 값을 가질 수 있다. 이에 따라 다음과 같은 게이지 군을 얻는다.

C2 ╲ B2 =0 ≠0
=0 SO(2N) Sp(N)
≠0 SO(2N+1)

이 경우, 3차 호몰로지 군이 H_3(\mathbb RP^5,\mathbb Z)=\mathbb Z/2\mathbb Z이므로, D5-막 말고 D3-막을 감을 수 있다. 이 경우 막이 안정하려면 dB_2=dC_2=0이어야 한다. 이 경우, 게이지 군이 SO(2N)인데, 이 때는 파피안 중입자 연산자

\epsilon^{i_1i_2\dots i_{2N}}\phi_{i_1i_2}\phi_{i_3i_4}\dotsb\phi_{i_{2N-1}i_{2N}}

이 존재한다. 즉, D3-막은 이 파피안 연산자와 대응된다.

AdS4/CFT3[편집]

11차원 초중력\operatorname{AdS}_4\times S^7축소화하여, 초대칭을 하나도 깨지 않고 \mathcal N=8 초중력을 얻을 수 있다.[7] 이는 M2-막 또는 M5-막사건 지평선 근처 기하에 해당한다. 즉, 다음이 성립한다.

AdS4×S7 위의 M이론 = 겹친 M2-막 위의 초대칭 등각 장론

겹친 M2-막 위의 3차원 등각장론은 BLG 이론 또는 이를 일반화한 ABJM 이론이다.[8] ABJM 이론은 U(N)_k\times U(N)_{-k} 천-사이먼스 이론이다. 여기서 N은 겹친 M2-막의 수, kS^7/\mathbb Z_k 오비폴드에서 몫을 취하는 순환군의 크기다. 이 오비폴드는 호프 올뭉치 S^1\hookrightarrow S^7\to\mathbb{C}P^3에서 S^1\mathbb Z_k 몫을 취하여 얻는다. M이론은 일반적으로 결합 상수가 없어 섭동 이론이 존재하지 않지만, k가 클 경우, S^1/\mathbb Z_k\cong S^1의 크기가 작아져 M이론을 IIA종 끈 이론으로서 섭동 이론을 취할 수 있다. 즉, 여기서는 N/k가 일종의 엇호프트 결합 상수 역할을 한다.

AdS4×S7/ℤk CFT3
OSp(8|4) 최대 초대칭 대수 3차원 민코프스키 공간 \mathcal N=8 초등각대수
Spin(3,2) AdS4 등거리변환군전피복군 3차원 민코프스키 공간 등각대칭군의 전피복군
Spin(8) S7 등거리변환군의 전피복군 3차원 민코프스키 공간 \mathcal N=8 초대칭 R대칭
N F_7 선속 ABJM 이론 게이지 군 U(N)\times U(N) 계수
R AdS4 반지름 R=
\sqrt[6]{(2\pi)^2N/8}\ell_\text{p} (S7 반지름은 2R)[5]:614–617
k 오비폴드 S7/ℤk에서의 k ABJM 이론의 천-사이먼스 레벨(Chern–Simons level) U(N)_{+k}\times U(N)_{-k}

AdS7/CFT6[편집]

11차원 초중력\operatorname{AdS}_7\times S^4축소화하여도 초대칭을 하나도 깨지 않는다. 이는 M5-막사건 지평선 근처 기하에 해당한다. 따라서 다음이 성립한다.

AdS7×S3 위의 M이론 = 겹친 M5-막 위의 초대칭 등각 장론

겹친 M5-막 위에 존재하는 6차원 등각 장론은 아직 잘 알려져 있지 않다. 이 이론은 (2,0) 이론(영어: (2,0) theory)라고 불리는데, 이는 두 개의 같은 손지기 초전하를 가지기 때문이다.

AdS7×S4 CFT6
OSp(6,2|4) 최대 초대칭 대수 6차원 민코프스키 공간 \mathcal N=(2,0) 초등각대수
Spin(6,2) AdS7 등거리변환군전피복군 6차원 민코프스키 공간 등각대칭군의 전피복군
USp(4)=Spin(5) S4 등거리변환군의 전피복군 6차원 민코프스키 공간 \mathcal N=(2,0) 초대칭 R대칭
N F_4 선속
R AdS7 반지름 R=\sqrt[3]{8\pi N}\ell_\text{p} (S4 반지름은 R/2)[5]:614–617

평면파 극한[편집]

AdSn×S10−n 축소화를 변형시켜, 평면파(영어: plane wave) 극한을 취할 수 있다. 이 경우 끈 이론의 세계면 작용은 자유 이론이 된다. 이러한 극한은 초대칭 양-밀스 이론에서, R전하 J가 무한대로 가는 특정한 극한에 해당한다.[9][10][11][12][5]:677–683

이 극한은 2002년에 데이비드 베렌스틴(영어: David Berenstein)과 후안 말다세나, 호라치우 너스타세(루마니아어: Horațiu Năstase)가 2002년에 도입하였다.[13]

고차 스핀 이론[편집]

3차원 및 4차원 반 더 시터르 공간에는 고차 스핀 이론(영어: higher-spin theory) 또는 바실리예프 중력(영어: Vassiliev gravity)이라는 이론이 존재한다.[14] 이 이론은 무한한 수의 임의의 고차 스핀 무질량 게이지장을 포함한다. (일반적인 이론은 콜먼-맨듈라 정리에 따라 스핀 2를 초과하는 게이지장을 가지지 못한다.) 이 이론은 2차원 또는 3차원 O(N) 등각 장론과 대응한다고 추측된다.[15] 이는 이고리 로마노비치 클레바노프(러시아어: И́горь Рома́нович Клеба́нов)와 알렉산드르 마르코비치 폴랴코프가 2002년에 제안하였고, 클레바노프-폴랴코프 대응성(영어: Klebanov–Polyakov correspondence)이라고 한다. 2009년에 시모네 좀비(이탈리아어: Simone Giombi)와 인시(중국어: 尹希, 병음: Yǐn Xī)가 이를 뒷받침하는 증거를 제시하였다.[16]

역사[편집]

AdS/CFT 대응성은 후안 말다세나가 1997년 말에 처음으로 제안하였다.[17] 말다세나는 IIB종 초끈 이론에서 N개의 겹친 D3-막을 고려하였다. 결합 상수가 작은 경우 이는 통상적인 끈 이론 섭동 이론으로 다룰 수 있고, 결합 상수가 큰 경우에는 이를 초중력에서 검은 막으로 근사화할 수 있다. 검은 막의 사건 지평선 근처는 AdS_5\times S^5 꼴의 계량 텐서를 가진다. 이제 끈 길이 l_s가 0으로 가게 되는 극한을 취하면, 결합 상수가 작은 경우에는 모든 유질량 입자는 유효 이론에서 사라지고, 또한 닫힌 끈에 의하여 매개되는 중력 또한 재규격화군 흐름에 의하여 사라지게 되어, D3-막에 붙어 있는 열린 끈의 무질량 모드에 의한 SU(N) \mathcal N=4 초대칭 게이지 이론만 남게 된다. 반면, 결합 상수가 큰 경우에는 검은 막사건 지평선 근처에 있는 닫힌 끈 모드들만 살아남는다. (이 경우, 유질량 모드도 사건 지평선에 매우 가까운 경우 살아남게 된다.) 따라서 AdS_5\times S^5에 축소화한 IIB형 초끈 이론과 \mathcal N=4 SU(N) 초대칭 게이지 이론이 서로 동등하다는 사실을 알 수 있다.

스티븐 겁서, 이고리 로마노비치 클레바노프(러시아어: И́горь Рома́нович Клеба́нов), 알렉산드르 마르코비치 폴랴코프[18], 에드워드 위튼[19] 등이 대응성을 뒷받침하는 중요한 성질 및 증거들을 발견하였다. 이 대응성은 다른 여러가지 (비 AdS) 배경들과 그들의 짝(비 등각) 이론들에 대해서 까지도 일반화되었다. 발표된 이후 약 10년 동안 말다세나의 논문은 6000회 이상 인용되며 따라서 1990년대 이론물리학의 가장 중요한 개념적인 발전이 되었고, 양자 중력양자 색역학의 여러 영역들의 연관된 논리 전개에 큰 영향을 주고 있다.

관련 개념[편집]

AdS/CFT 대응성은 홀로그래피 원리의 가장 성공적인 구현이다. 이는 헤라르뒤스 엇호프트가 제안하고 레너드 서스킨드에 의해 발전되고 널리 전파된 양자중력의 한 가지 이론적인 착상이다.

AdS/CFT 대응성은 대수적 홀로그래피혹은 "레렌 이중성"(Rehren duality)과 혼동되어서는 안된다. 끈이론가들은 어떤 경우에 이것이 AdS/CFT와 동일해 질 수 있더라도 둘은 서로 다르다고 말한다.[20][21][22]

응용[편집]

AdS/CFT 대응성은 끈 이론양자장론 (특히 양자 색역학[23][24][25]), 응집물질물리학[26][27] 등에서 널리 쓰인다.

함께 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Ofer Aharony, Steven S. Gubser, Juan Maldacena, Hirosi Ooguri, Yaron Oz (2000년 1월). Large N field theories, string theory and gravity. 《Physics Reports》 323 (3–4): 183–386. arXiv:hep-th/9905111. doi:10.1016/S0370-1573(99)00083-6. Bibcode1999PhR...323..183A. ISSN 0370-1573.
  2. (영어) Maldacena, Juan (2005년 7월). 〈Lectures on AdS/CFT〉, 《Progress In String Theory: TASI 2003 Lecture Notes》. World Scientific, 155–203쪽. arXiv:hep-th/0309246. doi:10.1142/9789812775108_0002. Bibcode2003hep.th....9246M. ISBN 978-981-256-406-1
  3. (영어) Polchinski, Joseph (2011년 11월). 〈Introduction to Gauge/Gravity Duality〉, 《String Theory and Its Applications: TASI 2010 From meV to the Planck Scale》. World Scientific, 3–45쪽. arXiv:1010.6134. doi:10.1142/9789814350525_0001. Bibcode2010arXiv1010.6134P. ISBN 978-981-4350-51-8
  4. (영어) Maldacena, Juan (2012). 〈The gauge/gravity duality〉, 《Black Holes in Higher Dimensions》. Cambridge University Press, 325–347쪽. arXiv:1106.6073. doi:10.1017/CBO9781139004176.013. Bibcode2011arXiv1106.6073M. ISBN 9781107013452
  5. (영어) Becker, Katrin, Melanie Becker, John H. Schwarz (2006년 12월). 《String Theory and M-Theory: A Modern Introduction》. Cambridge University Press. doi:10.2277/0511254865. Bibcode2007stmt.book.....B. ISBN 978-0511254864
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