선형결합

선형결합(線形結合, linear combination)은 선형대수학에서 자주 쓰이는 개념의 하나이다.

몇 개의 벡터의 조합으로 새로운 벡터를 만들 수 있다. 예를 들어, 2차원 벡터공간의 두 벡터 $\mathbf{v}=(2,3)$와 $\mathbf{w}=(1,2)$에 대해, $2\mathbf{v}+3\mathbf{w}$는 $(7,12)$라는 벡터를 만들어 낸다. 이처럼 몇 개의 벡터를 늘려 합한 것들을 벡터의 선형결합이라고 한다.

정의

$K$를 한 체라 하자. $V$를 $K$-위의 한 벡터 공간이라 하자. 이때 $K$의 원소를 스칼라라 하고, $V$의 원소를 벡터라 한다. 이제 벡터 $v_1, v_2, \cdots, v_k$와 스칼라 $a_1, a_2, \cdots, a_k$가 주어져 있을 때, 이 스칼라들을 계수로 갖는 주어진 벡터들의 선형결합은, $a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_k v_k$로 주어진다.