S-이중성

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이론물리학에서, S-이중성(S-二重性, S-duality)은 서로 다른 듯한 두 물리 이론이 결합 상수역수를 취하는 변환에 의하여 서로 동등한 현상이다. 즉, 결합 상수가 작은 한 이론은 결합 상수가 큰 다른 이론과 동등하게 된다. 양자장론끈 이론에서 나타난다.

양자장론의 S-이중성[편집]

양자장론에서는 여러 가지의 S-이중성을 찾을 수 있다. 이들은 대부분 일종의 초대칭을 가정하며, 궁극적으로 초끈 이론의 S-이중성에서 비롯된다.

전기-자기 이중성[편집]

S-이중성의 가장 기본적인 형태는 맥스웰 방정식전기-자기 이중성(電氣磁氣二重性, electric–magnetic duality)이다. 대전 입자를 포함하지 않는 맥스웰 방정식전기장자기장을 치환하여도 동등하다. 여기에 전기적으로 대전된 입자만 추가하면 전기-자기 이중성이 깨지지만, 자기적으로 대전된 입자도 추가하면 다시 전기-자기 이중성이 성립한다. 여기서 전기적으로만 대전된 입자는 전기 홀극, 자기적으로만 대전된 입자는 자기 홀극, 전기와 자기 둘 다 대전된 입자를 다이온이라고 한다.

부호수가 (p,4-p)인 4차원 다양체 M를 생각하자. 그 가운데 호몰로지 H^2(M)에 다음과 같은 연산자 N_\tau\colon H^2(M;\mathbb C)\to H^2(M;\mathbb C)를 정의하자.

N_\tau=\operatorname{Re}\tau+s*\operatorname{Im}\tau

여기서 p\equiv0\pmod2인 경우 s=i, 그렇지 않은 경우 s=1로 놓는다. 이 경우, (s*)^2=-1이므로, N_\tau의 역은

(N_\tau)^{-1}=N_{1/\tau}

이다. 즉, 이러한 꼴의 연산자는 단순히 복소수로 생각할 수 있다.

U(1) 게이지 이론은 다음과 같이 기술할 수 있다. U(1) 접속의 곡률을 F라고 하자. 이는 선다발의 천 류와 같다.

c_1=[F/2\pi]\in H^2(M;\mathbb Z)

게이지 이론의 작용을 다음과 같이 적자.

S_\tau=\frac1{4\pi}\int_MF\wedge N_\tau F

통상적으로, 그 성분들은

\tau=\theta/2\pi+4\pi i/g^2

으로 적는다. 여기서

이다. 즉, 텐서 표기법으로 쓰면

S=\int_M\sqrt{|\det g|}\,\left(\frac1{2g^2}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{\theta}{32\pi^2}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}\right)

이다. 이 작용은

F\mapsto F_D=\frac{\delta S}{\delta F}=N_\tau F
\tau\mapsto-1/\tau

에 대하여 불변이다. 이는 고전 전자기학의 전기-자기 이중성이다.

이 이론을 양자화하게 되면, 그 경로 적분

Z=\int DA\,\exp(iS)

이다. 이 경우, [F/2\pi]\in H^2(M;\mathbb Z)이므로,

S_{\tau+1}-S_\tau=(\theta/2)\int_M(F/2\pi)\wedge(F/2\pi)

이다. 만약 M스핀 다양체라면, 2차 미분형식의 교차 형식(intersection form)은 짝수이므로, 항상 \int_M(F/2\pi)^2는 짝수다. 따라서

S_{\tau+1}-S_\tau\in\mathbb Z

이고, 이 경우 경로 적분에 등장하는 \exp(iS)는 불변이다. 즉, 양자역학적으로

\tau\mapsto\tau+1

또한 대칭이다. 이들을 합성하면 모듈러 군

\tau\mapsto\frac{a\tau+b}{c\tau+d} (\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)

을 이루게 된다. 유클리드 계량 부호수의 경우, 이는 구체적으로 경로 적분을 계산해 확인할 수 있다. 맥스웰 방정식을 만족시키는 장세기 F

dF=d*F=0

이므로 조화형식(harmonic form)을 이루며, 이는 호지 이론에 따라 코호몰로지류 H^2(M;\mathbb R)에 대응한다. 유클리드 계량 부호수에서는 2차 형식에 대한 호지 쌍대*^2=1이므로, 호지 쌍대의 고윳값에 따라 임의의 장세기를

F=2\pi(p_++p_-)
*F=2\pi(p_++-p_-)
p_\pm\in H^2_\pm(M;\mathbb Z)

로 분해할 수 있다. 그렇다면

N_\tau F=2\pi(\tau p_++\bar\tau p_-)

이다. 따라서 작용은

S=\pi\left(\tau\langle p_+, p_+\rangle-\bar\tau\langle p_-,p_-\rangle\right)

가 된다. 따라서, 경로 적분은 다음과 같다.[1][2][3]:89–91

Z(\tau)\sim\sum_{p_+\in H^2_+(M;\mathbb Z)}q^{p_+^2/2}\sum_{p_-\in H_-^2(M;\mathbb Z)}\bar q^{p_-^2/2} (q=\exp(2\pi i\tau))

이는 서로 다른 선다발들의 합만 고려한 것이다. 여기에 유한 에너지 모드들의 기여를 고려하면, 각 모드의 에너지는 \operatorname{Im}\tau=1/g^2에 비례하며, 경로 적분에는 (에너지 연산자의 행렬식의 제곱근이므로) 각 모드가 \sqrt{\operatorname{Im}\tau}를 기여한다. 이 인자는 경로 적분측도를 국소적으로 재정의해 없앨 수 있다. 그러나 게이지 고정을 할 경우 상수 게이지 변환은 진동 모드에 영향을 미치지 않으므로 \operatorname{Im}\tau)^{-1/2}를 곱해야 하고, 또한 b_1 (1차 베티 수) 개의 영에너지 모드는 게이지 변환에 영향을 받지 않으므로 이들은 (\operatorname{Im}\tau)^{b_1/2}를 기여한다. 즉, 총 경로 적분은 다음과 같은 꼴이다.

Z(\tau)\sim(\operatorname{Im}\tau)^{(b_1-1)/2}\sum_{p_+\in H^2_+(M;\mathbb Z)}q^{p_+^2/2}\sum_{p_-\in H_-^2(M;\mathbb Z)}\bar q^{p_-^2/2}

이는 세타 함수의 일종이며, 이는 무게가

\frac12(\chi-\sigma,\chi+\sigma)

인 (비정칙) 모듈러 형식이다. 여기서 \chiM오일러 지표이고, \chi=b_2^+-b_2^-는 교차 형식의 부호수이다. 무게가 0이 아닌 경우에는 고전적인 모듈러 군 대칭에 변칙이 생기는 것을 알 수 있다.

몬토넨-올리브 이중성[편집]

4차원에서, \mathcal N=4 초대칭을 갖는 비가환 양-밀스 이론에서도 일종의 S-이중성이 성립하는데, 이를 몬토넨-올리브 이중성(Montonen–Olive duality)이라고 한다.[4][5] 이는 클라우스 몬토넨(핀란드어: Claus Montonen)과 데이비드 이언 올리브(David Ian Olive)가 1977년 발견하였다.[6]

몬토넨-올리브 이중성은 IIB종 초끈 이론으로 설명할 수 있다.[7][8]:186–187 \mathcal N=4 U(N) 양-밀스 이론은 N개의 겹친 D3-막들 위에 존재하는 유효 이론이다. D3-막에는 기본 끈(F-끈)과 D1-막(D-끈)이 붙어 있는데, F-끈의 끝은 전기 홀극, D-끈의 끝은 자기 홀극을 이룬다. IIB종 초끈 이론에서는 S-이중성은 F-끈과 D-끈을 맞바꾸게 되고, 이 이중성은 물론 D3-막의 유효 이론도 따르게 된다. 이 이중성이 몬토넨-올리브 이중성이다.

제이베르그 이중성[편집]

4차원 \mathcal N=1 초대칭 양-밀스 이론에서도 제이베르그 이중성(Seiberg duality)이라는 S-이중성이 존재한다.[9] 이 경우, 서로 대응하는 두 이론은 일반적으로 똑같지 않지만, 낮은 에너지 눈금에서는 재규격화군 흐름에 의하여 서로 같아진다. 서로 대응하는 두 이론의 모듈러스 공간은 서로 동형이다. 나탄 제이베르그가 1994년 발견하였다.[10]

보다 일반적으로, 맛깔 대칭(flavour symmetry)들을 게이지하면, 이중성 폭포(duality cascade)라는 일련의 관계들을 얻는다.[11]

제이베르그-위튼 이론[편집]

제이베르그-위튼 이론(Seiberg–Witten theory)은 \mathcal N=2 4차원 초대칭 게이지 이론의 모듈러스 공간(moduli space)을 다루는 이론이다. 나탄 제이베르그에드워드 위튼이 1994년 발표하였다.[12] 이에 따라, 많은 경우 양자 초대칭 게이지 이론의 모듈러스 공간을 정확히 계산할 수 있고, 서로 다른 것처럼 보이는 이론들이 S-이중성에 따라 사실 같은 양자장론임을 알 수 있다.

아지리스-제이베르그-가이오토 이중성[편집]

아지리스-제이베르그-가이오토 이중성(영어: Argyres–Seiberg–Gaiotto duality) 또는 가이오토 이중성은 4차원 \mathcal N=2 초등각 게이지 이론들에 대한 S-이중성이다. 이는 원래 필립 아지리스(영어: Philip Argyres)와 나탄 제이베르그가 발견한 이중성[13]을 다비데 실바노 아킬레 가이오토(이탈리아어: Davide Silvano Achille Gaiotto)가 일반화하였다.[14]

아지리스-제이베르그-가이오토 이중성이 적용되는 이론들은 M5-막을 구멍난(punctured) 리만 곡면에 감아서 정의된다. 즉, M5-막의 세계부피 이론인 6차원 \mathcal N=(2,0) 초등각 장론을 구멍난 리만 곡면에 축소화한 것이다. 이렇게 하여 얻을 수 있는 이론들을 𝒮류 이론(영어: theories of class 𝒮)이라고 한다.[15]

가이오토의 이 논문에 대해서, 또다른 유명한 물리학자인 다치카와 유지(일본어: 立川 裕二 (たちかわ ゆうじ))는 다음과 같이 적었다.

지난 주 월요일에도 일기에 적었지만, 오늘 밤 나왔던 %의 논문은 아름답다. 내가 석사 시절부터 제이베르그-위튼 이론을 공부했기 때문에 그렇게 생각하는 건지 몰라도, 적어도 4차원 \mathcal N=2 초대칭 이론로서는 획기적인 발전이다. 이 정도 좋은 논문을 언젠가 쓰고 싶다.

先週月曜にも日記に書いたことの繰り返しになるが、今晩出た % の論文は美しい。僕が修士の頃から Seiberg-Witten 理論を勉強してきたからそう思うだけかも知れないけれども、少なくとも 4次元 N=2 超対称性理論としては画期的な発展だろう。これぐらい良い論文をいつか書きたいものだ。

 
[16]

디모프테-가이오토-구코프 이중성[편집]

가이오토 이중성은 M5-막을 2차원 리만 곡면에 감아서 얻는다. 대신 M5-막을 3차원 다양체에 감아 3차원 \mathcal N=2 게이지 이론들을 얻을 수 있고, 이에 따라 같은 3차원 초대칭 게이지 이론의 서로 다른 묘사들을 얻을 수 있다. 투도르 단 디모프테(루마니아어: Tudor Dan Dimofte)와 다비데 실바노 아킬레 가이오토(이탈리아어: Davide Silvano Achille Gaiotto), 세르게이 겐나디예비치 구코프(러시아어: Серге́й Генна́дьевич Гу́ков)가 도입하였다.[17][18]

끈 이론의 S-이중성[편집]

초끈 이론들 사이의 이중성

초끈 이론들도 S-이중성을 나타낸다.[19] IIB종 초끈 이론은 스스로에게 대응한다. 즉, 결합 상수 g의 IIB종 초끈 이론은 결합 상수 1/g의 이론과 같다. I종 초끈 이론은 SO(32) 잡종 끈 이론과 대응한다. IIA종 초끈 이론과 E8 잡종 이론은 축소화M이론에 대응하게 된다.

따라서, 일반적으로 M이론의 이중성들의 군은 T-이중성과 S-이중성들로 생성된다. T-이중성과 S-이중성을 합성한 이중성을 U-이중성(U-duality)이라고 하며,[20] 크리스토퍼 헐(Christopher Michael Hull)과 폴 타운젠드(Paul Kingsley Townsend)가 1995년 발견하고 명명하였다.[21]

S-이중성 아래, 기본 (F-끈)은 D1-막(D-끈)과 맞바꾸어지고, D5-막NS5-막(F5-막)과 맞바꾸어진다.[22]

I종/SO(32) 잡종 이중성[편집]

I종 막 SO(32) 잡종 막
기본 끈 (없음)
D1-막 기본 끈
D5-막 NS5

I종 끈 이론의 기본 끈은 다른 끈 이론의 끈과 달리 BPS가 아니어서, 일반적으로 안정하지 않다 (즉, 끊어질 수 있다). 이는 I종 끈 이론은 캘브-라몽 장을 포함하지 아니하므로, 끈이 보존되는 전하에 대하여 대전되어 있지 않기 때문이다. 결합 상수가 작을 경우 끈이 끊어지는 속도가 느려 섭동 이론을 전개할 수 있지만, 그 S-이중 이론은 결합 상수가 큰 경우에 해당하므로 I종 끈은 곧 붕괴해 버린다. 반면 SO(32) 잡종 끈은 BPS이므로 안정하며, I종 이론에서 D1-막 (D-끈)으로 존재한다.

IIB 자기 이중성[편집]

IIB종 막 IIB종 막
기본 끈 D1-막
D3-막 D3-막
D5-막 NS5-막
D7-막 S7-막[23]:522
D9-막 S9-막[23]:522

IIB 이론은 스스로의 S-이중 이론이다. 또한, IIB 이론의 S-대칭은 SL(2,\mathbb Z)이다. 이에 따라 기본 끈((1,0)-끈)은 일반적으로 p개의 기본 끈과 q개의 D-끈으로 이루어진 (p,q)-끈에 대응되게 된다. 마찬가지로 (p,q) 5-막도 존재한다. D3-막은 S-이중성에 따라 변환하지 않는다. 7-막과 9-막의 변환은 더 복잡하다.

IIB종 초중력의 S-이중성[편집]

IIB종 초중력은 IIB종 초끈 이론의 저에너지 유효이론이다. IIB종 초끈 이론이 SL(2,\mathbb Z) S-이중성을 가지는 것처럼, IIB종 초중력도 SL(2,\mathbb R) S-이중성을 가진다. (초중력을 초끈 이론으로 양자화하는 과정에서, 양자역학적 효과에 의하여 SL(2,\mathbb R)SL(2,\mathbb Z)로 깨진다.)

IIB종 초중력의 보손 장들은 SL(2,\mathbb R)에 대하여 다음과 같이 변환한다.

행렬 M=\begin{pmatrix}
a&b\\c&d
\end{pmatrix}\in SL(2,\mathbb R)에 대한 변환
캘브-라몽 장 B_2라몽-라몽 2차 형식 C_2 \binom{B_2}{C_2}\mapsto M\binom{B_2}{C_2}
딜라톤 \Phi라몽-라몽 0차 형식 C_0 \tau=C_0+i\exp(-\Phi), \tau\mapsto(a\tau+b)/(c\tau+d)
라몽-라몽 4차 형식 C_4 불변
중력장 (아인슈타인 틀) g^{\text{(E)}}_{\mu\nu}=\exp(-\Phi/2)g^{\text{(string)}}_{\mu\nu} 불변

U-이중성[편집]

M이론에서는 T-이중성S-이중성에 의하여, 보다 더 큰 이산대칭군이 존재한다. 이를 U-이중성(영어: U-duality)이라고 한다.

M이론을 1\le n\le 8차원 원환면 \mathbb T^n축소화하였다고 하자. 그렇다면 그 U-이중성군은 일반적으로 예외 단순 리 군 En(n)의 이산부분군이다. (En(n)은 En의 갈린(영어: split) 비컴팩트 실수 형태이다.) 이들은 다음과 같다.[24]:345–350,636[25]:278–281[26][27]

축소화한 차원 수 II종 초끈 이론 T-이중성 초중력 U-이중성군 M이론 U-이중성군
1 1 E1(1)=SL(2;ℝ) E1(1)(ℤ)=SL(2;ℤ)
2 1 E2(2)=SL(2;ℝ)×ℝ+ E2(2)(ℤ)=SL(2;ℤ)
3 O(2,2;ℤ)=SL(2;ℤ)×SL(2;ℤ) E3(3)=SL(2;ℝ)×SL(3;ℝ) E3(3)(ℤ)=SL(2;ℤ)×SL(3;ℤ)
4 O(3,3;ℤ)=SL(4;ℤ) E4(4)=SL(5;ℝ) E4(4)(ℤ)=SL(5;ℤ)
5 O(4,4;ℤ) E5(5)=SO(5,5;ℝ) E5(5)(ℤ)=SO(5,5;ℤ)
6 O(5,5;ℤ) E6(6) E6(6)(ℤ)⊂E6(6)
7 O(6,6;ℤ) E7(7) E7(7)(ℤ)⊂E7(7)
8 O(7,7;ℤ) E8(8) E8(8)(ℤ)⊂E8(8)

여기서 n=1인 경우는 IIB 초끈 이론SL(2;ℤ) S-이중성이다.

En의 부분군들

이들 U-이중성군 En(n)은 T-이중성군 O(n-1,n-1;\mathbb Z)n차원 원환면 \mathbb T^n자기동형사상군 \operatorname{SL}(n,\mathbb R) 둘 다를 부분군으로 가진다. 즉, (실수 형식을 무시하면)

E_8\supset O(14),SL(8)
E_7\supset O(12),SL(7)
E_6\supset O(10),SL(6)
E_5=O(10)\supset O(8),SL(5)
E_4=SL(5)\supset O(6)=SL(4),SL(4)
E_3=SL(2)\times SL(3)\supset O(4)=SL(2)\times SL(2),SL(3)
E_2=SL(2)\times U(1)\supset O(3)=SL(2),SL(2)
E_1=SL(2)\supset O(2)=U(1),SL(1)=1

또한, 이 U-이중성 가운데 일부는 행렬 이론으로 설명할 수 있다.[24]:636

통계역학적 격자 모형의 S-이중성[편집]

통계역학에서, 각종 격자 모형들도 S-이중성을 만족한다. 2차원 격자 모형의 S-이중성은 크라머르스-바니어 이중성(Kramers–Wannier duality)이라고 하며,[28] 헨드릭 안토니 크라머르스와 그레고리 바니어(독일어: Gregory Hugh Wannier)가 1941년 발표하였다.[29] 2차원 이상의 차원에도 유사한 이중성들이 존재한다.

참고 문헌[편집]

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