초대칭 게이지 이론

초대칭

기본 개념
초공간 초장 초대칭 대수 초등각 대수
초대칭 이론
베스-추미노 모형 초대칭 양자전기역학 초대칭 게이지 이론 최소 초대칭 표준 모형 차등 최소 초대칭 표준 모형 초대칭 대통일 이론 초중력 갈린 초대칭 초끈 이론
초대칭 파괴
최소 초중력 페예-일리오풀로스 모형 오라퍼티 모형
불가능성 정리
콜먼-맨듈라 정리 하크-워푸샨스키-조니우스 정리
수학적 구조
초다양체 리 초군과 리 초대수 초행렬식과 초대각합 켈러 다양체

초대칭 게이지 이론(超對稱-理論, 영어: supersymmetric gauge theory)은 일반 게이지 이론에 초대칭을 도입하여 얻은 이론이다.^:40–45 게이지 장을 벡터 초다중항에 넣어 게이지 보손의 짝인 스핀 ½의 게이지노를 얻는다. 대표적인 예로 최소 초대칭 표준 모형이 있다. 아직 실험적으로 검증되지 않았다.

이론적 전개

여기서는 현상론적으로 의미있는 경우인 4차원 $\mathcal N=1$ 초대칭을 다룬다.

게이지장

게이지 퍼텐셜은 벡터장이므로 벡터 초다중항을 이루게 된다. 즉 $V=\bar V$를 만족하는 초장 $V=2gV^at^a$로 서술한다. ($g$는 결합 상수, $t^a$는 게이지 리 대수의 기저) 이를 프리퍼텐셜(영어: prepotential)이라고 부른다. 이는 손지기 초장 $\Lambda$로 주어지는 게이지 변환의 경우에는

$\exp V\mapsto\exp(i\bar\Lambda)\exp V\exp(-i\Lambda)$

와 같이 변환한다.^:36,43

다음과 같이 패러데이 텐서 $F_{\mu\nu}$에 해당하는 장세기

$W_\alpha=-\frac14\bar D^2(\exp(-V)D_\alpha\exp V)$

를 정의할 수 있다.^:40,43 장세기 $W$는 손지기 초장(chiral superfield)이다. $W$와 $\bar W$는 다음과 같이 변환한다.

$W\mapsto\exp(i\Lambda)W\exp(-\Lambda)$.

따라서 게이지장의 라그랑지언의 운동 에너지 항을 다음과 같은 F-항으로 쓸 수 있다.^:41

$\frac14(W^2+\bar W^2)$.

또한, 게이지 군이 아벨 군일 경우에는 페예-일리오풀로스 D-항

$-\kappa V$

이 존재한다.^:41 (여기서 $\kappa$는 상수다.)

물질

$X$가 물질을 나타내는 손지기 초장이라고 하자. 게이지 대칭이 없는 경우에는 $\bar XX$꼴의 D-항이 라그랑지언의 운동 에너지 항을 나타내지만, 게이지 대칭이 있고 $X$가 그 게이지장에 대하여 대전된 경우 이 항은 게이지 불변이 아니다. $X$는 다음과 같이 변환한다.^:41,43

$X\mapsto\exp(i\Lambda)X$

$\bar X\mapsto\bar X\exp(-i\bar\Lambda)$.

따라서 다음과 같은 운동 에너지 D-항이 게이지 불변임을 알 수 있다.^:41–42,43

$\bar X\exp(V)X$.