초등각 장론

양자장론에서 초등각 장론(超等角場論, 영어: superconformal field theory, 약자 SCFT)은 등각 대칭과 초대칭을 동시에 갖는 양자장론이다.

4차원 초등각 장론

4차원 초등각 장론은 4차원 초등각 대칭을 따르는 양자장론이며, 4차원 초대칭 양자장론의 재규격화군흐름의 적외선 극한으로 얻어진다.

4차원 초등각 대수

4차원에서, 초전하의 수가 $4{\mathcal {N}}$개인 초등각 대수는 $\operatorname {PSU} (2,2|{\mathcal {N}})$이다. 그 보손 성분은

$\operatorname {PSU} (2,2)\times \operatorname {U} ({\mathcal {N}})$

이다. 다만, ${\mathcal {N}}=4$일 경우 U(1) R대칭이 깨져,

$\operatorname {PSU} (2,2)\times \operatorname {SU} (4)$

가 된다.

4차원 초등각 대수의 생성원 및 이들의 보손 대칭 표현은 다음과 같다.

생성원	기호	$\Delta$	$\operatorname {U} ({\mathcal {N}})$ R대칭 표현	로런츠 표현	에르미트 수반
운동량	$P_{\mu }$	+1	1	(½,½)	$(P_{\mu })^{\dagger }=K^{\mu }$
왼손 초전하	$Q_{\alpha }^{i}$	+½	${\mathcal {N}}$	(½,0)	$(Q_{\alpha }^{i})^{\dagger }=S_{i}^{\alpha }$
오른손 초전하	${\bar {Q}}^{{\dot {\alpha }}i}$	+½	${\bar {\mathcal {N}}}$	(0,½)	$({\bar {Q}}_{i}^{\dot {\alpha }})^{\dagger }={\bar {S}}_{\dot {\alpha }}^{i}$
확대	$D$	0	1	(0,0)	$D^{\dagger }=-D$
각운동량	$J_{\mu \nu }$	0	1	(1,0) ⊕ (0,1)	$(J_{\mu \nu })^{\dagger }=J^{\mu \nu }$
R대칭	$R^{i}{}_{j}$	0	${\mathfrak {u}}({\mathcal {N}})$	(0,0)	$(R^{i}{}_{j})^{\dagger }=R_{j}{}^{i}$
왼손 특수 초전하	$S_{i}^{\alpha }$	−½	${\bar {\mathcal {N}}}$	(½,0)	$(S_{i}^{\alpha })^{\dagger }=Q_{\alpha }^{i}$
오른손 특수 초전하	${\bar {S}}^{{\dot {\alpha }}i}$	−½	${\mathcal {N}}$	(0,½)	$({\bar {S}}_{\dot {\alpha }}^{i})^{\dagger }={\bar {Q}}_{i}^{\dot {\alpha }}$
특수 등각 변환	$K_{\mu }$	−1	1	(½,½)	$(K^{\mu })^{\dagger }=P_{\mu }$

$J_{\mu \nu }$, $P_{\mu }$, $K^{\mu }$, $D$ 사이의 리 괄호는 등각 대칭과 같으며. 나머지 리 괄호들은 다음과 같다.

$\{Q_{\alpha }^{i},{\bar {Q}}_{{\dot {\beta }}j}\}=2\delta _{j}^{i}\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }P_{\mu }$

$\{{\bar {S}}_{i}^{\dot {\alpha }},S^{\beta j}\}=2\delta _{i}^{j}{\bar {\sigma }}^{\mu {\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}K_{\mu }$

$\{Q_{\alpha }^{i},S_{j}^{\beta }\}=\delta _{j}^{i}(\sigma ^{\mu }{\bar {\sigma }}^{\nu })_{\alpha }{}^{\beta }J_{\mu \nu }+\delta _{\alpha }^{\beta }({\frac {3}{2}}R_{j}^{i}+\delta _{j}^{i}D)$

$\{{\bar {Q}}_{{\dot {\alpha }}i},{\bar {S}}^{{\dot {\beta }}i}\}=\delta _{i}^{j}({\bar {\sigma }}^{\mu }\sigma ^{\nu })^{\dot {\alpha }}{}_{\dot {\beta }}J_{\mu \nu }+\delta _{\dot {\alpha }}^{\dot {\beta }}({\frac {3}{2}}R_{j}^{i}-\delta _{j}^{i}D)$

$[K^{\mu },Q_{\alpha }^{i}]=i\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }{\bar {S}}^{{\dot {\beta }}i}$

$[K^{\mu },{\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}^{i}]=i{\bar {\sigma }}^{\mu {\dot {\alpha }}\beta }S_{\beta }^{i}$

$[P^{\mu },S_{\alpha i}]=i\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }{\bar {Q}}^{{\dot {\beta }}i}$

$[P^{\mu },{\bar {S}}^{{\dot {\alpha }}i}]=i{\bar {\sigma }}^{\mu {\dot {\alpha }}\beta }Q_{\beta }^{i}$

$[P,Q]=[P,{\bar {Q}}]=[K,S]=[K,{\bar {S}}]=\{Q,Q\}=\{{\bar {Q}},{\bar {Q}}\}=\{Q,{\bar {S}}\}=\{{\bar {Q}},S\}=\{S,S\}=\{{\bar {S}},{\bar {S}}\}=0$

여기서

$P_{\alpha {\dot {\beta }}}=\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }P_{\mu }$

$K_{\alpha {\dot {\beta }}}=\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }K_{\mu }$

이다.

표현

4차원 초등각 장론에서의 1차 등각장은 R대칭 표현과 등각 무게 $\Delta$ 및 로런츠 표현에 의하여 결정된다. 유니터리 초등각 장론의 경우 이 값들에 대하여 유니터리 하한(영어: unitarity bound)이라는 부등식들이 존재한다.

3차원 초등각 장론

3차원 초등각 대수는 ${\mathfrak {osp}}({\mathcal {N}}|4)$이며, 그 보손 부분군은

$\operatorname {SO} ({\mathcal {N}})\times \operatorname {Sp} (4,\mathbb {R} )\cong \operatorname {SO} ({\mathcal {N}})\times \operatorname {Spin} ^{+}(3,2)$

이다. 즉, R대칭군은 $\operatorname {SO} ({\mathcal {N}})$이다.

2차원 초등각 장론

 이 부분의 본문은 2차원 𝒩=1 초등각 장론입니다.

 이 부분의 본문은 2차원 𝒩=2 초등각 장론입니다.

2차원 초등각 대수는 비라소로 대수를 포함하므로 무한 차원의 리 초대수이며, 이에 따라 2차원 초등각 장론들은 여러 특수한 성질들을 갖는다.

성질

4차원 ${\mathcal {N}}=1$ 초등각 장론의 R전하 및 등각 무게는 $a$-최대화(영어: $a$-maximization)라는 방법으로 계산할 수 있다. 즉, 이들 값들은 항상 대수적 수이다.

예

${\mathcal {N}}=4$ 초대칭 양-밀스 이론은 4차원 ${\mathcal {N}}=4$ 초등각 장론이며, 이는 D3-막의 세계부피 이론이다. 6차원 (2,0) 초등각 장론을 리만 곡면에 축소화하면, 𝒮류 이론(영어: theories of class 𝒮)이라는 ${\mathcal {N}}=2$ 초등각 장론들을 얻는다. 4차원 ${\mathcal {N}}=1$ 초등각 장론에 대하여서는 자이베르그 이중성이라는 이중성이 존재한다.

3차원에서는 베스-추미노 모형이 재규격화군 흐름의 고정점을 만나, 초등각 장론을 이룬다. 그러나 4차원에서는 베스-추미노 모형의 적외선 극한은 자유 이론이다.

6차원에서는 6차원 (2,0) 초등각 장론이 존재한다. 이는 M5-막의 세계부피 이론이다.

참고 문헌

• Shnider, Steven (1988년 11월). “The superconformal algebra in higher dimensions”. 《Letters in Mathematical Physics》 (영어) 16 (4): 377–383. doi:10.1007/BF00402046. 

외부 링크

• “SCFT”. 《nLab》 (영어). 
• Kaplunovsky, Vadim (2009). “Conformal and superconformal symmetries” (PDF) (영어). 2015년 3월 26일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 6월 16일에 확인함.