베스-추미노 모형

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베스-추미노 모형(Wess–Zumino model)은 가장 단순한 초대칭적 이론의 하나다. 그 단순함으로 인하여, 역사적으로 최초로 발견된 초대칭적 이론의 하나였고, 또 교과서에서 예제로 쓰인다.

역사[편집]

1974년오스트리아율리우스 베스이탈리아브루노 추미노가 도입하였다.[1]

정의[편집]

대부분 마이너스인 계량 부호수 (+−−−)를 쓰자. n개의 왼손 손지기 초장 \phi_1,\phi_2,\dots,\phi_n이 있다고 하자. 베스-추미노 모형은 이 초장으로 만들 수 있는 모든 4차원에서 재규격화할 수 있는 항을 포함한다. 이러한 항은 F항D항이 있다. 즉 라그랑지안은 다음과 같다.

\mathcal L=\mathcal L_F+\mathcal L_D

F항 (위치 에너지)[편집]

이를 가지고 쓸 수 있는 4차원에서 재규격화할 수 있는 가장 일반적인 초퍼텐셜 W는 다음과 같다.

W(\phi)=a_i\phi_i+\frac12m_{ij}\phi_i\phi_j+\frac16y_{ijk}\phi_i\phi_j\phi_k

손지기 초장은 곱해도 (공변 미분라이프니츠 법칙에 인하여) 손지기 초장을 이루므로, 초퍼텐셜의 F항을 취하여 라그랑지언을 적을 수 있다.

\mathcal L_F=[W(\phi)]_F+[W^\dagger(\phi^\dagger)]_F

D항 (운동에너지)[편집]

F항 말고도, 장이 운동 에너지를 가지려면 D항이 필요하다. 초장을 \phi_i\phi_i^\dagger와 같이 곰하면 벡터 초장을 얻는다. 따라서 가장 일반적인 4차원에서 재규격화할 수 있는 F항은 다음과 같다.

\mathcal L_D=[\phi_i\phi^\dagger_i]_D

(그 계수는 운동 에너지 항의 일반적 형태에 맞춰 1로 틀맞춤한다.)

현상론[편집]

이론의 현상론을 다루려면, 라그랑지언을 초장이 아닌 일반적 장으로 고쳐 써야 한다.

\mathcal L_D=F^\dagger F+\left|\partial\phi\right|^2+\frac12i\psi\sigma^\mu\partial_\mu\bar\sigma-\frac12i(\partial_\mu\psi)\sigma^\mu\bar\psi
\mathcal L_F=-aF-m_{ij}\phi_iF_j-\frac12m_{ij}\psi_i\psi_j-\frac12y_{ijk}\phi_i\phi_jF_k-\frac12y_{ijk}\phi_i\psi_j\psi_k+\text{H.C.}

보조장 F오일러-라그랑주 방정식으로 없앨 수 있다. 질량항이나 상호작용항이 없는 경우(m=y=0)는 보조장이 든 항을 단순히 없애면 된다.

보조장을 제외하고, n개의 마요라나 입자 \psi_in개의 복소 스칼라 입자 (또는 스칼라-유사스칼라 입자 쌍) \phi_i를 포함하는 것을 알 수 있다.

주석[편집]

  1. Wess, Julius, Bruno Zumino (1974년 2월). Supergauge transformations in four dimensions. 《Nuclear Physics B》 70 (1): 39–50. doi:10.1016/0550-3213(74)90355-1. Bibcode1974NuPhB..70...39W.

참고 문헌[편집]