베스-추미노 모형

초대칭

기본 개념
초공간 초장 초대칭 대수 초등각 대수
초대칭 이론
베스-추미노 모형 초대칭 양자전기역학 초대칭 게이지 이론 최소 초대칭 표준 모형 차등 최소 초대칭 표준 모형 초대칭 대통일 이론 초중력 갈린 초대칭 초끈 이론
초대칭 파괴
최소 초중력 페예-일리오풀로스 모형 오라퍼티 모형
불가능성 정리
콜먼-맨듈라 정리 하크-워푸샨스키-조니우스 정리
수학적 구조
초다양체 리 초군과 리 초대수 초행렬식과 초대각합 켈러 다양체

베스-추미노 모형(Wess–Zumino model)은 가장 단순한 초대칭적 이론의 하나다. 그 단순함으로 인하여, 역사적으로 최초로 발견된 초대칭적 이론의 하나였고, 또 교과서에서 예제로 쓰인다.

역사

1974년에 오스트리아의 율리우스 베스와 이탈리아의 브루노 추미노가 도입하였다.

정의

대부분 마이너스인 계량 부호수 (+−−−)를 쓰자. $n$개의 왼손 손지기 초장 $\phi_1,\phi_2,\dots,\phi_n$이 있다고 하자. 베스-추미노 모형은 이 초장으로 만들 수 있는 모든 4차원에서 재규격화할 수 있는 항을 포함한다. 이러한 항은 F항과 D항이 있다. 즉 라그랑지안은 다음과 같다.

$\mathcal L=\mathcal L_F+\mathcal L_D$

F항 (위치 에너지)

이를 가지고 쓸 수 있는 4차원에서 재규격화할 수 있는 가장 일반적인 초퍼텐셜 $W$는 다음과 같다.

$W(\phi)=a_i\phi_i+\frac12m_{ij}\phi_i\phi_j+\frac16y_{ijk}\phi_i\phi_j\phi_k$

손지기 초장은 곱해도 (공변 미분의 라이프니츠 법칙에 인하여) 손지기 초장을 이루므로, 초퍼텐셜의 F항을 취하여 라그랑지언을 적을 수 있다.

$\mathcal L_F=[W(\phi)]_F+[W^\dagger(\phi^\dagger)]_F$

D항 (운동에너지)

F항 말고도, 장이 운동 에너지를 가지려면 D항이 필요하다. 초장을 $\phi_i\phi_i^\dagger$와 같이 곰하면 벡터 초장을 얻는다. 따라서 가장 일반적인 4차원에서 재규격화할 수 있는 F항은 다음과 같다.

$\mathcal L_D=[\phi_i\phi^\dagger_i]_D$

(그 계수는 운동 에너지 항의 일반적 형태에 맞춰 1로 틀맞춤한다.)

현상론

이론의 현상론을 다루려면, 라그랑지언을 초장이 아닌 일반적 장으로 고쳐 써야 한다.

$\mathcal L_D=F^\dagger F+\left|\partial\phi\right|^2+\frac12i\psi\sigma^\mu\partial_\mu\bar\sigma-\frac12i(\partial_\mu\psi)\sigma^\mu\bar\psi$

$\mathcal L_F=-aF-m_{ij}\phi_iF_j-\frac12m_{ij}\psi_i\psi_j-\frac12y_{ijk}\phi_i\phi_jF_k-\frac12y_{ijk}\phi_i\psi_j\psi_k+\text{H.C.}$

보조장 $F$는 오일러-라그랑주 방정식으로 없앨 수 있다. 질량항이나 상호작용항이 없는 경우($m=y=0$)는 보조장이 든 항을 단순히 없애면 된다.

보조장을 제외하고, n개의 마요라나 입자 $\psi_i$와 n개의 복소 스칼라 입자 (또는 스칼라-유사스칼라 입자 쌍) $\phi_i$를 포함하는 것을 알 수 있다.

참고 문헌

• Figueroa-O'Farrill, J.M. (2001년 9월). BUSSTEPP Lectures on Supersymmetry. arXiv:hep-th/0109172. Bibcode: 2001hep.th....9172F.