초다양체

초대칭

기본 개념
초공간 초장 초대칭 대수 초등각 대수
초대칭 이론
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초대칭 파괴
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불가능성 정리
콜먼-맨듈라 정리 하크-워푸샨스키-조니우스 정리
수학적 구조
초다양체 리 초군과 리 초대수 초행렬식과 초대각합 켈러 다양체

초다양체(超多樣體, 영어: supermanifold)는 초대칭을 고려하여 다양체의 개념을 일반화시킨 것이다. 비가환 다양체의 특정한 종류나, 일반적 비가환 공간보다 훨씬 더 정규적이어서, 미분기하학 등을 할 수 있다.

정의

음이 아닌 정수 $p,q$를 생각하자. ($p$는 보존적 차원의 수, $q$는 페르미온적 차원의 수다.) p|q차원의 초다양체는 국소적으로 $\mathcal C^\infty({\mathbb R}^p)\otimes\Lambda(\xi_1,\dots,\xi_q)$와 동형인 환 달린 공간이다.

이는 일반적 미분다양체의 정의 (국소적으로 $\mathcal C^\infty(\mathbb R^p)$와 동형인 환 달린 공간)과 유사하다.

굳이 매끈한 함수가 아니라, 덜 매끈한 $C^k$ 함수에 대해서도 유사한 정의를 할 수 있다.

예제

$M$이 다양체라고 하고, $E$가 $M$ 위의 벡터 다발이라고 하자. 그렇다면 외대수 $\Lambda^\bullet(E)$의 단면들의 층을 갖춘 $M$은 초다양체를 이룬다. 이를 $\Pi E$라고 쓴다. $\Pi$는 벡터 다발의 범주에서 초다양체의 범주로 가는 펑터이다. 특히, $E=TM$(접다발)인 경우 $\Pi TM$은 미분형식들의 층 $\Omega(M)$이다.

배첼러의 정리(Batchelor's theorem)에 따르면, 모든 초다양체는 $\Pi E$의 꼴로 나타낼 수 있다. 그러나 이는 자연스럽지 못하다. 즉, 펑터 $\Pi$는 (초다양체의 범주에 동치류를 취하더라도) 범주의 동치를 이루지 않는다.

참고 문헌

• (영어) Rogers, Alice (2007년 4월). 《Supermanifolds: Theory and Applications》. Singapore: World Scientific. doi:10.1142/1878. ISBN 978-981-02-1228-5
• (영어) Cattaneo, Alberto S., Florian Schätz (2011년 7월). Introduction to supergeometry. 《Reviews in mathematical physics》 23 (6): 669. doi:10.1142/S0129055X11004400. arXiv:1011.3401. ISSN 0129-055X.
• (영어) Sardanashvily, G. (2009년). Lectures on supergeometry. arXiv:0910.0092.
• (영어) Witten, Edward (2012년). Notes on supermanifolds and integration. arXiv:1209.2199.
• (영어) Witten, Edward (2012년). Notes on super Riemann surfaces and their moduli. arXiv:1209.2459.
• (영어) Hohnhold, Henning, Stefan Stolz, Peter Teichner (2011년). Super manifolds: An incomplete survey. 《Bulletin of the Manifold Atlas》 2011: 1–6.
• (영어) Carmeli, Claudio (2006년). 《Super Lie groups: structure and representations》, 박사 학위 논문, Università degli Studi di Genova

같이 보기

• 초공간
• 초대칭
• 미분다양체
• 비가환 공간