초다양체

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초다양체(超多樣體, 영어: supermanifold)는 초대칭을 고려하여 다양체의 개념을 일반화시킨 것이다. 비가환 다양체의 특정한 종류나, 일반적 비가환 공간보다 훨씬 더 정규적이어서, 미분기하학 등을 할 수 있다.

정의[편집]

음이 아닌 정수 p,q를 생각하자. (p보존적 차원의 수, q페르미온적 차원의 수다.) p|q차원의 초다양체는 국소적으로 \mathcal C^\infty({\mathbb R}^p)\otimes\Lambda(\xi_1,\dots,\xi_q)동형환 달린 공간이다.

이는 일반적 미분다양체의 정의 (국소적으로 \mathcal C^\infty(\mathbb R^p)와 동형인 환 달린 공간)과 유사하다.

굳이 매끈한 함수가 아니라, 덜 매끈한 C^k 함수에 대해서도 유사한 정의를 할 수 있다.

예제[편집]

M이 다양체라고 하고, EM 위의 벡터 다발이라고 하자. 그렇다면 외대수 \Lambda^\bullet(E)의 단면들의 을 갖춘 M은 초다양체를 이룬다. 이를 \Pi E라고 쓴다. \Pi는 벡터 다발의 범주에서 초다양체의 범주로 가는 함자이다. 특히, E=TM(접다발)인 경우 \Pi TM미분형식들의 층 \Omega(M)이다.

배첼러의 정리(Batchelor's theorem)에 따르면, 모든 초다양체는 \Pi E의 꼴로 나타낼 수 있다. 그러나 이는 자연스럽지 못하다. 즉, 함자 \Pi는 (초다양체의 범주에 동치류를 취하더라도) 범주의 동치를 이루지 않는다.

참고 문헌[편집]

2012arXiv1209.2459W

같이 보기[편집]