초중력

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물리학에서, 초중력(超重力, 영어: supergravity, 약자 SUGRA)은 일반 상대성 이론초대칭을 도입하여 얻는 중력 이론이다. 초대칭을 게이지 대칭으로 승격시켜 자연스럽게 유도할 수 있고, 또 초끈 이론에서 낮은 에너지에서의 유효 이론으로 나타난다. 초대칭을 도입함에 따라 기존의 중력자의 초대칭 짝인 그래비티노를 예측한다.

전개[편집]

초중력은 여러가지의 시공 차원과 여러 수의 초대칭을 고려하여 정의할 수 있으나, 낮은 에너지에서 현상론적으로 의미있는 경우는 4차원 비확장 초중력이다. 초중력을 다루려면 여러 가지 방법이 있다.

가장 간단한 작용에서는 초대칭을 만족시키려면 운동 방정식을 사용하여야 한다. 즉, 초대칭이 질량 껍질 위에서만 성립한다. 이를 양자화하여면 바탈린-빌코비스키 양자화(BRST 양자화를 일반화한 것)를 사용하여야 한다.

껍질 밖에서도 초대칭을 만족시키려면 보조장을 도입해야 한다. 초공간을 사용하지 않고 초다중항의 각 성분을 개별적으로 다루고, 비앙키 항등식을 풀어 질량껍질 밖 초대칭을 만족시킬 수도 있다. 초공간을 사용하게 되면, 매우 많은 수의 보조장이 생기게 되는데, 각종 구속 (constraint)을 가하여 필요없는 항을 없앤다. 물질장에 결합시키려면, 바일 변환을 형식적으로 만족시키는 보정장(compensator)을 도입한다.

껍질 위 초대칭[편집]

초중력은 일반상대론을 확장한 이론이므로, 일반상대론과 유사하게 일반적인 시공간에서 다룰 수 있다.

−+++ 계량 부호수를 사용하자. 필바인e^a_\mu이다. \mu는 굽은 공간 좌표, a필바인 좌표다. 초대칭에 등장하는 장들은 다음과 같다.

초중력의 (1차) 작용은 다음과 같다.

S=\frac1{2\kappa^2}\int d^Dx\,e\left(e^\mu_ae^{\nu b}R_{\mu\nu}{}^a{}_b(\omega)-\bar\psi_\mu
\gamma^{\mu\nu\rho}\nabla_\nu\psi_\rho\right)

여기서 각 항들은 다음과 같다.

초공간 방식[편집]

굽은 초공간[편집]

초공간 표기법을 사용하면, 시공은 4|4차원 초다양체를 이룬다. 일반상대론과 같이, M에 Spin(3,1)인 주다발을 놓고, 또 R4|4 벡터다발을 놓는다. 벡터다발은 주다발에 "초기본표현"으로 (즉 보손 차원은 벡터로, 페르미온 차원은 마요라나 스피너로) 표현한다. 또한 꼬임없는 스핀접속도 놓는다. (자세한 사항은 필바인을 참고하라.)

굽은 초공간 지표는 알파벳 가운데서 시작하는 M, N, ..., 평탄한 지표는 알파벳 처음부터 시작하는 A, B, ...로 쓰자. 라틴 소문자는 벡터, 그리스 소문자는 (왼손) 스피너를 나타낸다. (이는 [1]에서 쓰는 표기법과 같다.) 즉 굽은 지표는

X^M=(x^m,\xi^\mu,\bar\xi^{\dot\mu})

평탄한 지표는

X^A=(x^a,\xi^\alpha,\bar\xi^{\dot\alpha})

꼴이다. 이에 따라 필바인E^A_M, 접속은 {\Omega_{MA}}^B로 쓴다.

필바인과 접속은 다음과 같은 실성조건(reality condition)을 만족한다.

E^A_M (x,\bar\theta,\theta)^* = E^{A^*}_{M^*}(x,\theta,\overline{\theta})
{\Omega_{MA}}^B(x,\bar\theta,\theta)^*={\Omega_{MA}}^B(x,\theta\bar\theta)

여기서 M^*은 (\mu^*=\mu, \alpha^*=\dot{\alpha}, \dot{\alpha}^*=\alpha)과 같이 좌표를 바꾸는 것을 의미한다.

공변미분을 정의한다.

D_Mf=\left( \partial_Mf+\Omega_M[f]\right)

이를 이용하여 비틀림 T곡률 R을 정의한다.

구속[편집]

위와 같이 필바인과 접속을 정의하면 지나치게 많은 성분이 생기므로, 여기에 각종 구속(constraint)을 달아 필요없는 성분을 없애야 한다. 대개 다음과 같은 세 종류의 구속 조건을 단다.

  • -\mathrm i\nabla_{\alpha\dot\beta}=\{\nabla_\alpha,\bar\nabla_{\dot\beta}\} (벡터 공변 미분과 스피너 공변 미분 사이의 관계
  • \nabla_\alpha\Phi=0인 경우 \{\nabla_\alpha,\nabla_\beta\}\Phi=0 (손지기 초장의 존재 허용, 다시 말해 반교환자 \{\nabla_\alpha,\nabla_\beta\}는 일반 \nabla_\gamma선형 결합)
  • {T_{\alpha\beta}}^\gamma={T_{\alpha,\beta\dot\gamma}}^{\beta\dot\delta}={T_{\alpha a}}^a=0 (꼬임의 스피너 성분에 대한 구속)

초중력 작용[편집]

일반상대론에서 야코비안으로 필바인의 행렬식을 쓰는 것처럼, 초중력에서는 초필바인의 초행렬식(브레지니안)을 쓴다.

손지기 초장 X가 주어졌을 때, 초중력의 작용은 다음과 같다.

S = \int d^4x d^2\Theta 2\mathcal{E}\left[ \frac{3}{8} \left( \overline{D}^2 - 8R \right) e^{-K(\overline{X},X)/3} + W(X) \right] + \text{c.c.}

여기서 K켈러 퍼텐셜이고 W초퍼텐셜이다. R은 공변을 위한 스칼라 초장이고, \mathcal{E}는 손지기 적분인자다.

11차원 초중력[편집]

11차원은 초대칭이 존재할 수 있는 (로런츠 계량 부호수) 최다(最多) 차원이다. 이는 12차원 이상인 경우에는 스핀이 2를 초과하는 입자들이 존재하게 되어, 상호작용하는 양자장론을 정의할 수 없기 때문이다. 11차원에서의 초대칭 이론은 (3차 이상 도함수항을 제외하면) 유일하며, 이 이론을 11차원 초중력(eleven-dimensional supergravity)라고 한다.[2] 11차원 초중력의 존재는 1978년에 외젠 크레메르(Eugène Cremmer)와 베르나르 쥘리아(Bernard Julia), 조엘 셰르크가 증명하였다.[3]

11차원 초중력은 M이론의 낮은 에너지 눈금 유효 이론이다. 이 이론은 32개의 초전하(supercharge)를 가지며, 이는 \mathcal N=1 초대칭에 해당한다. 11차원 초중력은 중력장 G_{MN}과 마요라나 그래비티노 \psi_M, 또 3차 미분형식 게이지장 C_{MNP}를 포함한다.

다른 이론과의 관계[편집]

초끈 이론[편집]

초끈 이론의 충분히 큰 거리 눈금에서의 유효 이론이다.

초대칭 이론[편집]

초중력은 국소적으로 초대칭적인 이론이다. 즉 초대칭이 모든 점에서 동일한 모양으로 있는 것이 아니라, 다른 위치에서 다른 양 만큼 있도록 해주면 초중력이 된다. 중력이 좌표계를 바꾸어도 모든 물리현상이 같아야 된다는데서 유도할 수 있는 것과 같이, 초대칭이론을 좌표계와 관계없이 물리현상이 같을 것을 이용하면 초중력을 유도할 수 있다.

현상론[편집]

중력 초다중항은 (질량껍질 위에서) 스핀 2의 중력자와 스핀 1½의 그래비티노로 이루어진다. 중력자는 무질량이므로 안정하나, 아직 발견되지 않았다. 그래비티노는 대부분의 모형에서 초대칭 파괴로 인한 골드스티노를 삼켜 질량을 가지게 된다. (자세한 사항은 최소 초중력을 참고.) 일부 모형에서는 그래비티노가 가장 가벼운 초대칭 입자(LSP)로, 안정하게 돼 암흑 물질을 이룬다.

역사[편집]

1972년에 드미트리 바실리예비치 볼코프 (러시아어: Дми́трий Васи́льевич Во́лков)와 블라디미르 아쿨로프(우크라이나어: Влади́мир П. Аку́лов)는 초대칭에 대한 최초의 논문 가운데 하나를 출판하였다.[4] 이 논문에서 볼코프와 아쿨로프는 이미 중력에도 초대칭을 도입할 수 있고, 초대칭이 페르미온 골드스톤 입자(골드스티노)로 인하여 깨지게 된다는 사실을 언급하였다. 이듬해에 볼코프와 뱌체슬라프 알렉산드로비치 소로카(Вячесла́в Алекса́ндрович Соро́ка)는 초중력에 대한 최초의 논문을 집필하였다.[5]

최초의 일관적인 초중력 이론은 1976년미국대니얼 프리드먼(영어: Daniel Z. Freedman)과 네덜란드페터르 판니우엔하위전(네덜란드어: Peter van Nieuwenhuizen), 이탈리아세르조 페라라(이탈리아어: Sergio Ferrara)가 발견하였다.[6]

참고 문헌[편집]

  1. Warren Siegel (1999), Fields. hep-th/9912205
  2. (영어) Miemiec, André, Igor Schnakenburg (2006년 1월). Basics of M-Theory. 《Fortschritte der Physik》 54 (1): 5–72. doi:10.1002/prop.200510256. arXiv:hep-th/0509137. Bibcode2006ForPh..54....5M.
  3. (영어) Cremmer, E., B. Julia, J. Scherk (1978년 6월 19일). Supergravity in theory in 11 dimensions. 《Physics Letters B》 76 (4): 409–412. doi:10.1016/0370-2693(78)90894-8. Bibcode1978PhLB...76..409C.
  4. (러시아어) Волков, Д. В., В. П. Акулов (1972년 12월 5일). О возможном универсальном взаимодействии нейтрино. 《Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики Письма и Редакцию》 16 (11): 621–624. Bibcode1972ZhPmR..16..621V.
  5. (러시아어) Волков, Д. В., В. А. Сорока (1973년 10월 20일). Эффект Хиггса для голдстоуновских частиц со спином 1/2. 《Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики Письма и Редакцию》 18 (8): 529–532. Bibcode1973ZhPmR..18..529V.
  6. (영어) Freedman, D. Z., P. van Nieuwenhuizen, S. Ferrara (1976년 6월 15일). Progress toward a theory of supergravity. 《Physical Review D》 13 (12): 3214–3218. doi:10.1103/PhysRevD.13.3214. Bibcode1976PhRvD..13.3214F.