BRST 양자화

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BRST 양자화(영어: BRST quantization) 또는 베키-루에-스토라-튜틴 양자화(영어: Becchi–Rouet–Stora–Tyutin quantization)는 게이지 이론을 양자화하는 한 방법이다. 게이지 이론은 비물리적인 대칭 (게이지 대칭)을 지녀 그냥 양자화하기 어렵다. 게이지 대칭을 무시하고 그냥 양자화하면 그 힐베르트 공간이 양의 정부호의 내적을 얻지 못한다. 따라서 상태공간에 차수(grading)를 붙이고 코호몰로지를 만들어 물리적 힐베르트 공간을 얻는다.

역사

카를로 베키(이탈리아어: Carlo Maria Becchi), 알랭 루에(프랑스어: Alain Rouet), 레몽 스토라(프랑스어: Raymond Félix Stora), 러시아의 물리학자 이고리 빅토로비치 튜틴(러시아어: И́горь Ви́кторович Тю́тин)이 1970년대에 도입하였다.

전개

게이지 이론의 상태공간 $H$는 ℤ₂×ℝ차수가 붙은 벡터 공간 (graded vector space)을 이룬다. 여기서 ℤ₂는 반전성이고, ℝ은 유령수(영어: ghost number)다. 상태공간 위에 정의된 연산자도 마찬가지로 ℤ₂×ℝ차수가 붙어 있는데, 예를 들어 BRST 연산자 $Q$는 반전성 $-1$ (홀수), 유령수 1을 가진다.

$H_n$이 유령수 $n$을 가진 상태공간의 부분공간이라고 하자. 그러면 $Q:H_n\to H_{n+1}$이다. $Q^2=0$이므로, 이는 코호몰로지를 이룬다. 이를 BRST 코호몰로지라고 한다.

실재하는 상태는 $Q$의 코호몰로지, 즉 벡터공간 $\ker Q_{n+1}/\operatorname{Im}Q_n$의 원소다.

일반적 게이지 이론의 양자화

일련의 장 $\phi_i$와 게이지 대칭 $\delta_\alpha$를 생각하자. 이들이 리대수

$[\delta_\alpha,\delta_\beta]={f_{\alpha\beta}}^\gamma\delta_\gamma$

를 만족한다고 하자. 경로적분을 위하여 게이지 고정 조건 $F^A(\phi_i)=0$을 가하자. 원래 이론의 (게이지 고정 전) 작용이 $S_0$이라고 하면, 이론의 경로적분은 다음과 같다.

$\frac1{V_\text{gauge}}\int D\phi\;\exp(-S_0)=\int D\phi\;DB_A;Db_ADc^\alpha \exp(-S)$

여기서 새 작용은 다음과 같다.

$S=S_0+i\int B_AF^A(\phi)+\int b(\delta_\alpha F^A)c^\alpha$

여기서 $b_A$, $c^\alpha$는 그라스만 장이다.

게이지 고정한 작용 $S$는 다음과 같은 BRST 대칭을 만족한다.

$\delta \phi_i=-i\epsilon c^\alpha\delta_\alpha\phi_i$

$\delta b_A=-\epsilon B_A$

$\delta c^\alpha=-\frac12\epsilon c^\beta c^\gamma{f_{\beta\gamma}}^\alpha$

$\delta B_A=0$

여기서 $\epsilon$은 그라스만 도움변수다. 이 연산자를 $Q$라고 부르자. 이는 $Q^2=0$을 만족한다. 따라서 실재하는 상태는 $\ker Q/\operatorname{Im}Q$이다.

양-밀스 이론의 양자화

리대수 $\mathfrak g$의 게이지군을 가진 양-밀스 이론을 생각하자. 즉 게이지장은 $\mathfrak g$의 값을 지닌 장이다. 게이지 고정 조건 $G^a=\xi\partial^\mu A^a_\mu$을 도입하자. 이렇게 하면 게이지장 밖에 파데예프-포포프 유령장 $b^a$와 $c^a$가 필요하다. 여기에 보조장 $B^a$를 추가하자.

그러면 작용은 다음과 같다.

$\mathcal{L}=-{1\over 4g^2} \operatorname{Tr}[F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}]+{1\over 2g^2} \operatorname{Tr}[BB]-{1\over g^2} \operatorname{Tr}[BG]-{\xi\over g^2} \operatorname{Tr}[\partial^\mu b D_\mu c]$

여기에 BRST 연산자 $Q$를 다음과 같이 정의하자.

$QA=Dc$

$Qc={i\over 2}[c,c]_L$

$QB=0$

$Qb=B$

참고 문헌

• Becchi, Carlo Maria, Camillo Imbimbo (2008년). Becchi-Rouet-Stora-Tyutin symmetry. 《Scholarpedia》 3 (10): 7135. doi:10.4249/scholarpedia.7135.
• Becchi, Carlo (1996년). Introduction to BRS symmetry. arXiv:hep-th/9607181.
• D. R. Bes, O. Civitarese (2002년 5월). Illustrations of the Becchi–Rouet–Stora–Tyutin invariance by means of simple toy models. 《American Journal of Physics》 70 (5): 548–555. doi:10.1119/1.1450574.
• Horuzhy, S. S., A. V. Voronin (1989년 12월). Remarks on mathematical structure of BRST theories. 《Communications in Mathematical Physics》 123 (4): 677–685. doi:10.1007/BF01218591.
• Barnich, Glenn, Friedemann Brandt, Marc Henneaux (2000년 11월). Local BRST cohomology in gauge theories. 《Physics Reports》 338 (5): 439–569. doi:10.1016/S0370-1573(00)00049-1. arXiv:hep-th/0002245.