초행렬

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

수학이론물리학에서, 초행렬(超行列, 영어: supermatrix)은 초벡터공간 사이의 사상을 나타내는 행렬이다.

정의[편집]

(m|n)\times(p|q) 초행렬 M은 다음과 같은 구조로 이루어진 블록 행렬이다.

M=\begin{pmatrix}
X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}
\end{pmatrix}

여기서 X_{00}m\times p, X_{01}m\times p, X_{10}n\times p, X_{11}n\times q 행렬이다. (p|q)\times(p|q) 행렬을 정사각초행렬(영어: square supermatrix)이라고 한다.

연산[편집]

덧셈과 곱셈[편집]

같은 크기의 초행렬들은 서로 더할 수 있다. 덧셈은 일반 행렬과 마찬가지로, 각 성분을 더한다.

\begin{pmatrix}
X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
Y_{00}&Y_{01}\\Y_{10}&Y_{11}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
X_{00}+Y_{00}&X_{01}+Y_{01}\\X_{10}+Y_{10}&X_{11}+Y_{11}
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
Y_{00}&Y_{01}\\Y_{10}&Y_{11}
\end{pmatrix}

(m|n)\times(p|q) 초행렬과 (p|q)\times(r|s) 초행렬을 곱하여 (m|n)\times(r|s) 초행렬을 얻을 수 있다. 그 곱은 다음과 같다. \begin{pmatrix}
X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
Y_{00}&Y_{01}\\Y_{10}&Y_{11}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
X_{00}Y_{00}+X_{01}Y_{10}&X_{01}Y_{11}+X_{00}Y_{01}\\
X_{10}Y_{00}+X_{11}Y_{10}&X_{10}Y_{01}+X_{11}Y_{11}
\end{pmatrix}

초대각합과 초행렬식[편집]

정사각초행렬 X초대각합(超對角合, 영어: supertrace) \operatorname{str}X는 다음과 같다.


\operatorname{str}
\begin{pmatrix}
X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}
\end{pmatrix}=\operatorname{tr}X_{00}-\operatorname{tr}X_{11}

정사각초행렬 X초행렬식(超行列式, 영어: superdetermiant) 또는 베레지니언(영어: Berezinian) \operatorname{sdet}X는 다음과 같다.


\operatorname{sdet}
\begin{pmatrix}
X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}
\end{pmatrix}=\det(X_{00}-X_{01}X_{11}^{-1}X_{10})\det(X_{11}^{-1})

이들은 다음을 만족시킨다.

\operatorname{sdet}\exp X=\exp\operatorname{str}X

참고 문헌[편집]

  • Varadarajan, V. S. (2004). 《Supersymmetry for Mathematicians: An Introduction》, Courant Lecture Notes in Mathematics 11. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3574-2
  • Deligne, Pierre, John W. Morgan (1999). 〈Notes on Supersymmetry (following Joseph Bernstein)〉, 《Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians》. American Mathematical Society, 41–97쪽. ISBN 0-8218-2012-5