스칼라 곡률

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

스칼라 곡률(scalar曲率, 영어: scalar curvature 또는 Ricci scalar)은 리치 곡률 텐서대각합이다. 리만 다양체곡률을 나타내는 스칼라장이다. 기호는 대개 지표(index) 표기법에서는 R이나, 지표를 쓰지 않는 표기법에서는 리만 곡률 텐서리치 곡률 텐서와 혼동되므로 S 또는 s를 쓰기도 한다.

정의[편집]

리만 다양체 (M,g)리치 곡률 텐서 \operatorname{Ric}을 생각하자. 스칼라 곡률은 (계량 텐서 g의 역을 써 정의한) 리치 텐서의 대각합이다. 즉,

S=\operatorname{tr}_g\operatorname{Ric}

지표를 넣어 쓰면 다음과 같다.

S=R_{ij}g^{ij}.

성질[편집]

2차원에서는 리만 곡률 텐서의 성분이 대칭에 따라 하나밖에 없다. 따라서 스칼라 곡률만으로 곡률이 결정된다. 또한, 2차원에서는 가우스 곡률의 두 배다.