가우스 곡률

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가우스 곡률(영어: Gaussian curvature)은 곡면의 한 점의 굽은 정도를 나타내는 측도로서, 그 점의 두 주곡률의 곱이다. 가우스의 빼어난 정리에 따르면, 가우스 곡률은 내재적이다. 즉, 오직 곡면에서 거리가 어떻게 측도되는지에만 의존한다. 기호는 라틴 문자 K다.

정의[편집]

식으로 쓰면 다음과 같다.

K = \kappa_1\kappa_2

여기서 \kappa_1\kappa_2는 주곡률이다.

가우스 곡률은 모양 연산자행렬식으로 정의할 수도 있다. \mathbb R^3 안에 있는 곡면 위의 점 \mathbb p에서 모양 연산자 S가 주어지면, 가우스 곡률 K는 다음과 같다.

K(\mathbf{p}) = \det(S(\mathbf{p}))

\mathbb R^3 안에 있는 곡면의 가우스 곡률은 제1기본형식의 행렬식에 대한 제2기본형식의 행렬식의 비로 표현할 수도 있다.

K = \frac{\det\text{II}}{\det\text{I}}

성질[편집]

빼어난 정리[편집]

빼어난 정리(라틴어: Theorema Egregium)란 가우스 곡률은 곡면이 유클리드 공간에 어떻게 묻혀 있는지에 관계없다는 사실이다. 다시 말해, 가우스 곡률은 곡면의 등장변환에 불변이다. 가우스 곡률은 제1기본형식을 앎으로써 얻어질 수 있으며, 제1기본형식과 그것이 1계도, 2계도편미분함수로 표현된다. 곧, 제2기본형식의 행렬식도, 이와 마찬가지로, 제1기본형식으로 표현될 수 있다. 이 정리가 놀라운 것은, 가우스 곡률의 정의는 곡면이 공간에 어떻게 포함되는지에 의존하지만, 그 결과로 나오는 가우스 곡률 그 자체는 오직 곡면의 내적으로만 결정되며 그 외의 어떠한 정보도 필요하지 않다는 점이다. 곧, 가우스 곡률은 내재적 불변량이다.

가우스-보네 정리[편집]

가우스-보네 정리(영어: Gauss-Bonnet theorem)는 오일러 지표를 가우스 곡률로 나타내는 정리다. 이에 따르면, (경계가 없는) 곡면 M의 오일러 지표 \chi는 다음과 같다.

2\pi\chi=\int_MdA\;K.

여기서 K는 가우스 곡률이다. 이는 국소적인 기하학적 성질인 곡률과 위상적인 성질인 오일러 지표를 관련짓는다.

이를 경계를 지닌 곡면의 경우로 일반화하면 다음과 같다.

2\pi\chi=\int_MdA\;K+\int_{\partial M}ds\;k_\mathrm g

여기서 k_\mathrm g는 곡면의 경계의 측지적 곡률(geodesic curvature)이다.