리만 곡률 텐서

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리만 곡률 텐서(Riemann曲率tensor, 영어: Riemann curvature tensor)는 리만 다양체곡률을 나타내는 4-텐서장이다. 리만 기하학일반 상대성 이론에서 쓰인다.

정의[편집]

계량 텐서 \langle\cdot,\cdot\rangle레비치비타 접속 \nabla을 정의할 수 있다. 그렇다면, 리만 곡률 텐서 R은 (1,3)-텐서로, 다음과 같다.

R(u,v)w=\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w - \nabla_{[u,v]} w.

여기서 u, v벡터장이고, [\cdot,\cdot]리 괄호다. 즉, 리만 곡률 텐서는 공변 미분의 비가환성을 나타내는 개체로 이해할 수 있다.

좌표로 쓰면 다음과 같다. 여기서는 지표(index)와 아인슈타인 표기법을 쓰자. 레비치비타 접속은 크리스토펠 기호 \Gamma^\mu_{\nu\rho}로 나타내어진다. 그렇다면 리만 곡률 텐서는 다음과 같다.

{R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma}
    - \partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma}
    + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma}
    - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}.

성질[편집]

리만 곡률 텐서는 다음과 같은 대칭을 지닌다.

  • 반대칭성
R(u,v)=-R(v,u)
\langle R(u,v)w,z \rangle=-\langle R(u,v)z,w \rangle
  • 지표 교환 대칭성
\langle R(u,v)w,z\rangle=\langle R(w,z)u,v\rangle
  • 제1 비안키 항등식(영어: first Bianchi identity)
R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0
  • 제2 비안키 항등식(영어: second Bianchi identity)
(\nabla_u R)(v,w)+(\nabla_vR)(w,u)+(\nabla_wR)(u,v)=0.

이에 따라, n차원 다양체에서 리만 곡률 텐서는 n^2(n^2-1)/12개의 독립된 성분을 지닌다. (교환 대칭성은 반대칭성과 제1 비안키 항등식으로부터 유도할 수 있다.)

지표로 쓰면 이들은 다음과 같다.

  • 반대칭성
R_{(ab)cd}=R_{ab(cd)}=0
  • 지표 교환 대칭성
R_{abcd}=R_{cdab}
  • 제1 비안키 항등식
R_{a[bcd]}=0.
  • 제2 비안키 항등식
R_{ab[cd;e]}=0.

여기서 대괄호 [abc]는 지표의 (완전) 반대칭화, 소괄호 (ab)는 지표의 대칭호를 뜻한다.

2차원의 다양체의 경우, 리만 곡률 텐서는 다음과 같은 꼴이다.

R_{abcd}^{}=K(g_{ac}g_{db}- g_{ad}g_{cb}).

여기서 K가우스 곡률이다. 즉, 리만 곡률 텐서는 하나의 성분만을 지닌다.