리만 곡률 텐서

리만 곡률 텐서(Riemann曲率tensor, 영어: Riemann curvature tensor)는 리만 다양체의 곡률을 나타내는 4-텐서장이다. 리만 기하학 및 일반 상대성 이론에서 쓰인다.

정의

계량 텐서 $\langle\cdot,\cdot\rangle$로 레비치비타 접속 $\nabla$을 정의할 수 있다. 그렇다면, 리만 곡률 텐서 $R$은 (1,3)-텐서로, 다음과 같다.

$R(u,v)w=\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w - \nabla_{[u,v]} w$.

여기서 $u$, $v$는 벡터장이고, $[\cdot,\cdot]$은 리 괄호다. 즉, 리만 곡률 텐서는 공변 미분의 비가환성을 나타내는 개체로 이해할 수 있다.

좌표로 쓰면 다음과 같다. 여기서는 지표(index)와 아인슈타인 표기법을 쓰자. 레비치비타 접속은 크리스토펠 기호 $\Gamma^\mu_{\nu\rho}$로 나타내어진다. 그렇다면 리만 곡률 텐서는 다음과 같다.

${R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}$.

성질

리만 곡률 텐서는 다음과 같은 대칭을 지닌다.

반대칭성

$R(u,v)=-R(v,u)$

$\langle R(u,v)w,z \rangle=-\langle R(u,v)z,w \rangle$

지표 교환 대칭성

$\langle R(u,v)w,z\rangle=\langle R(w,z)u,v\rangle$

제1 비앙키 항등식

$R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0$

제2 비앙키 항등식

$(\nabla_u R)(v,w)+(\nabla_vR)(w,u)+(\nabla_wR)(u,v)=0$.

이에 따라, $n$차원 다양체에서 리만 곡률 텐서는 $n^2(n^2-1)/12$개의 독립된 성분을 지닌다. (교환 대칭성은 반대칭성과 제1 비앙키 항등식으로부터 유도할 수 있다.)

지표로 쓰면 이들은 다음과 같다.

반대칭성

$R_{(ab)cd}=R_{ab(cd)}=0$

지표 교환 대칭성

$R_{abcd}=R_{cdab}$

제1 바양키 항등식

$R_{a[bcd]}=0$.

제2 비앙키 항등식

$R_{ab[cd;e]}=0$.

여기서 대괄호 $[abc]$는 지표의 (완전) 반대칭화, 소괄호 $(ab)$는 지표의 대칭호를 뜻한다.

2차원의 다양체의 경우, 리만 곡률 텐서는 다음과 같은 꼴이다.

$R_{abcd}^{}=K(g_{ac}g_{db}- g_{ad}g_{cb})$.

여기서 $K$는 가우스 곡률이다. 즉, 리만 곡률 텐서는 하나의 성분만을 지닌다.