가우스-보네 정리

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가우스-보네 정리(Gauss-Bonnet theorem, -定理) 또는 가우스-보네 공식(Gauss-Bonnet formula, -公式)은 미분기하학정리로, 어떤 곡면가우스 곡률오일러 지표를 연결한다. 가우스 곡률은 곡면의 핵심적인 기하학적 정보이며, 오일러 지표는 곡면의 핵심적인 위상수학적 정보이기 때문에, 이 둘의 연관성은 수학에서 중요하게 여겨진다. 독일 수학자 카를 프리드리히 가우스는 이 정리의 내용을 알고 있었으나 출판하지는 않았으며, 프랑스 수학자 피에르 오시앙 보네(Pierre Ossian Bonnet)가 특수한 경우에 대한 논문을 1848년 출판하여 이 두 사람의 이름이 붙어 있다.

공식화[편집]

M은 경계\partial M콤팩트한 2차원 리만 다양체라 하자. K를 M의 가우스 곡률, kg을 M의 측지적 곡률(geodesic curvature)이라 하면, 다음 적분식이 성립하는데 이를 가우스-보네 정리라 한다.

  • \int_M K\;dA+\int_{\partial M}k_g\;ds=2\pi\chi(M).

여기서 dA는 곡면의 면적소, ds는 경계선의 길이 요소, χ(M)은 M의 오일러 지표이다. 만약 경계가 없는 곡면이라면 좌변의 두번째 항은 사라지고,

  • \int_M K\;dA = 2\pi\chi(M).

가 곧바로 성립한다.

조합론적 가우스-보네 정리[편집]

조합론에서도 여러 가우스-보네 정리의 유사 형태가 있다. 예로 M을 2차원 유한 준다양체(pseudomanifold), χ(M)을 M의 오일러 지표, χ(v)를 꼭짓점 v를 포함하는 삼각형의 수라 하면 다음 식이 성립한다.

  • \sum_{v\in{\mathrm{int}}{M}}(6-\chi(v))+\sum_{v\in\partial M}(4-\chi(v))=6\chi(M).

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]