가우스-보네 정리

가우스-보네 정리(Gauss-Bonnet theorem, -定理) 또는 가우스-보네 공식(Gauss-Bonnet formula, -公式)은 미분기하학의 정리로, 어떤 곡면의 가우스 곡률과 오일러 표수를 연결하는 매우 중요한 내용을 담고 있다. 가우스 곡률은 곡면의 핵심적인 기하학적 정보이며, 오일러 표수는 곡면의 핵심적인 위상수학적 정보이기 때문이다. 독일 수학자 카를 프리드리히 가우스는 이 정리의 내용을 알고 있었으나 출판하지는 않았으며, 프랑스 수학자 피에르 오시앙 보네(Pierre Ossian Bonnet)가 특수한 경우에 대한 논문을 1848년 출판하여 이 두 사람의 이름이 붙어 있다.

공식화

M은 경계가 $\partial M$ 인 컴팩트한 2차원 리만 다양체라 하자. K를 M의 가우스 곡률, k_g을 M의 측지적 곡률(geodesic curvature)이라 하면, 다음 적분식이 성립하는데 이를 가우스-보네 정리라 한다.

• $\int_M K\;dA+\int_{\partial M}k_g\;ds=2\pi\chi(M).$

여기서 dA는 곡면의 면적소, ds는 경계선의 길이 요소, χ(M)은 M의 오일러 표수이다. 만약 경계가 없는 곡면이라면 중간의 식은 사라지고,

• $\int_M K\;dA = 2\pi\chi(M).$

가 곧바로 성립한다.

조합론적 가우스-보네 정리

조합론에서도 여러 가우스-보네 정리의 유사 형태가 있다. 예로 M을 2차원 유한 준다양체(pseudomanifold), χ(M)을 M의 오일러 표수, χ(v)를 꼭짓점 v를 포함하는 삼각형의 수라 하면 다음 식이 성립한다.

• $\sum_{v\in{\mathrm{int}}{M}}(6-\chi(v))+\sum_{v\in\partial M}(4-\chi(v))=6\chi(M).$

같이 보기

• 가우스 곡률
• 일반화된 가우스-보네 정리
• 리만-로흐 정리
• 아티야-싱어 지표 정리

참고 문헌

• Barrett O'Neill, Elementary differential geometry, Elsevier, 2006.

바깥 고리

• 가우스-보네 공식 - 매스월드