아티야-싱어 지표 정리

미분기하학에서, 아티야-싱어 지표 정리(-指標定理, Atiyah–Singer index theorem)는 타원 복합체의 지표를 위상학적인 데이터로 계산할 수 있다는 정리다. 리만-로흐 정리와 가우스-보네 정리 등을 일반화한다.

역사

마이클 아티야와 이자도어 싱어(Isadore Singer)가 1963년에 발표하였다. 부분적으로 이 공로로 마이클 아티야는 1966년 필즈상을 수상하였다. 이 공로로 마이클 아티야와 이자도어 싱어는 2004년 아벨상을 수상하였다.

1983년에 루이스 알바레스가우메(스페인어: Luis Álvarez-Gaumé)가 아티야-싱어 지표 정리가 초대칭 양자역학과 깊은 관계가 있다는 사실을 밝혔고, 이를 이용하여 아티야-싱어 정리를 새롭게 증명하였다.

정의

$M$이 $m$차원 매끈한 컴팩트 미분다양체이고, $E^i$가 $M$ 위의 벡터다발들이라고 하자. $M$위의 타원 복합체 (타원 미분 작용소 $D_i$들로 이루어진 사슬 복합체)

$\cdots\stackrel{D_{i-2}}{\longrightarrow}\Gamma(E_{i-1}) \stackrel{D_{i-1}}{\longrightarrow} \Gamma(E_i) \stackrel{D_i}{\longrightarrow}\Gamma(E_{i+1})\stackrel{D_{i+1}}{\longrightarrow} \cdots$

의 해석적 지표(analytical index)는 다음과 같다.

$\operatorname{ind}(D_{\bullet})=\sum_i(-1)^i\dim(\ker D_i/\operatorname{im}D_{i-1})$.

이는 순수하게 해석적인 데이터로 정의된 값이다.

타원 복합체의 위상적 지표(topological index)는 다음과 같다.

$\operatorname{ind}(D_{\bullet})=(-)^{m(m+1)/2}\int_M \operatorname{ch}\left(\bigoplus_i(-1)^iE_i\right) \frac{\operatorname{Td}(TM^{\mathbb C})}{e(TM)}$.

여기서 $\operatorname{ch}$는 벡터다발의 천 지표(Chern character)이고, $\operatorname{Td}(TM^{\mathbb C})$는 $M$의 접다발 $TM$의 복소화(complexification)의 토드 모임(Todd class)이고, $e(TM)$은 접다발 $TM$의 오일러 모임(Euler class)이다. 이 지표는 순수하게 위상수학적인 데이터로 정의된 값이다.

아티야-싱어 지표 정리에 따르면, 타원 복합체의 해석적 지표와 위상적 지표는 같다.

참고 문헌

• (영어) Nakahara, Mikio (2003년 6월 4일). 《Geometry, Topology and Physics》, 2판, Taylor & Francis. doi:10.1201/9781420056945. ISBN 978-0-7503-0606-5

바깥 고리

• (영어) Martin Raussen, Christian Skau (2005년 2월). Interview with Michael Atiyah and Isadore Singer. 《Notices of the American Mathematical Society》 52 (2): 223–231.