아티야-싱어 지표 정리

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미분기하학에서, 아티야-싱어 지표 정리(-指標定理, 영어: Atiyah–Singer index theorem)는 타원 복합체의 지표를 위상학적인 데이터로 계산할 수 있다는 정리다. 히르체브루흐-리만-로흐 정리가우스-보네 정리 등을 일반화한다.

정의[편집]

Mm차원 콤팩트 매끄러운 다양체이고, E^iM 위의 벡터다발들이라고 하자. M위의 타원 복합체 (타원 미분 작용소 D_i들로 이루어진 사슬 복합체)

\cdots\stackrel{D_{i-2}}{\longrightarrow}\Gamma(E_{i-1}) \stackrel{D_{i-1}}{\longrightarrow} \Gamma(E_i) \stackrel{D_i}{\longrightarrow}\Gamma(E_{i+1})\stackrel{D_{i+1}}{\longrightarrow} \cdots

해석적 지표(analytical index)는 다음과 같다.

\operatorname{ind}(D_{\bullet})=\sum_i(-1)^i\dim(\ker D_i/\operatorname{im}D_{i-1}).

이는 순수하게 해석적인 데이터로 정의된 값이다.

타원 복합체의 위상수학적 지표(topological index)는 다음과 같다.

\operatorname{ind}(D_{\bullet})=(-)^{m(m+1)/2}\int_M
\operatorname{ch}\left(\bigoplus_i(-1)^iE_i\right)
\frac{\operatorname{Td}(TM^{\mathbb C})}{e(TM)}.

여기서 \operatorname{ch}는 벡터다발의 천 지표(Chern character)이고, \operatorname{Td}(TM^{\mathbb C})M접다발 TM의 복소화(complexification)의 토드 특성류이고, e(TM)접다발 TM오일러 특성류(Euler class)이다. 이 지표는 순수하게 위상수학적인 데이터로 정의된 값이다.

아티야-싱어 지표 정리에 따르면, 타원 복합체의 해석적 지표와 위상수학적 지표는 같다.

여기서, m=\dim M이 홀수인 경우 (미분 연산자에 대하여) 양변 모두 0이다. (다만, 유사미분연산자(영어: pseudodifferential operator)에 대한 경우 홀수 차원에서도 자명하지 않은 결과를 도출할 수 있다.)

[편집]

수많은 유명한 정리들을 아티야-싱어 지표 정리의 특수한 경우로 얻을 수 있다.

오일러 지표[편집]

M콤팩트 유향다양체라고 하고, 지표 정리를 (복소화한) 드람 복합체

0\to\Omega^0(M)\otimes\mathbb C\xrightarrow d\Omega^1(M)\otimes\mathbb C\xrightarrow d\Omega^2(M)\otimes\mathbb C\xrightarrow d\dotsb

에 적용시키자. 드람 복합체의 해석적 지표는 다양체의 오일러 지표 \chi(M)이다. 그 위상수학적 지표는 오일러 특성류(Euler class) e(M)의 적분이다. 즉, 이에 따라 천-가우스-보네 정리(영어: Chern–Gauss–Bonnet theorem)

\chi(M)=\int_Me(M)

를 얻는다.

히르체브루흐-리만-로흐 정리[편집]

아티야-싱어 지표 정리를 돌보 복합체에 적용시키면 히르체브루흐-리만-로흐 정리를 얻게 된다. M복소다양체라고 하고, 그 위에 해석적 벡터다발 E가 주어졌다고 하자. 지표 정리를 돌보 복합체

\Omega^{p,0}(E)\xrightarrow{\bar\partial}\Omega^{p,1}(E)\xrightarrow{\bar\partial}\dotsb

에 적용시키자. 돌보 복합체의 해석적 지표는 E코호몰로지오일러 지표

\chi(M,E)=h^0(M,E)-h^1(M,E)+h^2(M,E)-\dotsb

이고, 그 위상수학적 지표는

\int_M\operatorname{ch}(E)\operatorname{Td}(TM)

이다. 따라서 이는 히르체브루흐-리만-로흐 정리가 된다.

E가 0차원 벡터다발인 경우, 그 오일러 지표는 복소다양체의 산술종수 \operatorname{ind}\bar\partial이다. 따라서, 복소다양체의 산술종수는 복소 접다발토드 특성류의 적분에 의하여 주어진다.

\operatorname{ind}\bar\partial=\int_M\operatorname{Td}(TM)

디랙 연산자[편집]

M이 짝수 차원의 스핀 다양체라고 하고, 그 위에 디랙 스피너 다발

S(M)=S^+(M)\oplus S^-(M)

을 생각하자. 그렇다면 디랙 연산자

i\gamma^\mu\nabla_\mu=\begin{pmatrix}
0&D\\D^\dagger&0
\end{pmatrix}

는 다음과 같이 작용한다.

S^+(M)\xrightarrow DS^-(M)
S^+(M)\xleftarrow{D^\dagger}S^-(M)

이에 따라, 디랙 연산자 D의 지표는 아티야-싱어 지표 정리에 따라 다음과 같다.

\operatorname{ind}(D)=\ker D-\ker D^\dagger=\int_M\hat A

여기서 \hat A디랙 종수(영어: Dirac genus) 또는 Â 종수(영어: Â-genus)라고 불리는 특성류로,

\hat A=\prod_{i=1}^{\dim M}\frac{x_i/2}{\sinh(x_i/2)}=1-\frac1{24}p_1+\frac1{5760}(-4p_2+7p_1^2)+\dotsb\in H^{2\bullet}(M;\mathbb Q)

이다. 여기서 p_i폰트랴긴 특성류이고, x_i는 2차 미분형식들의 행렬인 곡률 R고윳값

-R/2\pi=\begin{pmatrix}
0&x_1\\
-x_1&0\\
&&0&x_2\\
&&-x_2&0\\
&&&&&0&x_3\\
&&&&-x_3&0\\
&&&&&&\ddots
\end{pmatrix}

이다. 일반적으로, 디랙 종수는 스핀 다양체가 아닌 다른 다양체의 경우 정수가 아닐 수 있다.

역사[편집]

마이클 아티야이자도어 싱어가 1963년에 발표하였다.[1][2][3][4][5] 부분적으로 이 공로로 마이클 아티야는 1966년 필즈상을 수상하였다.[6] 이 공로로 마이클 아티야이자도어 싱어는 2004년 아벨상을 수상하였다.[7][8]

1983년에 루이스 알바레스가우메(스페인어: Luis Álvarez-Gaumé)가 아티야-싱어 지표 정리가 초대칭 양자역학과 깊은 관계가 있다는 사실을 밝혔고, 이를 이용하여 아티야-싱어 정리를 새롭게 증명하였다.[9][10] 이 증명은 그 뒤 에즈라 게츨러(영어: Ezra Getzler)가 수학적으로 엄밀하게 제시하였다.[11] 즉, 디랙 연산자의 경우, 그 해석적 지표는 단순히 위튼 지표에 불과하여, 초대칭 양자역학을 사용해 계산할 수 있다.

참고 문헌[편집]

  1. Atiyah, M. F.; I. M. Singer (1963). “The index of elliptic operators on compact manifolds” (영어). 《Bulletin of the American Mathematical Society69: 422–433. doi:10.1090/S0002-9904-1963-10957-X. 
  2. Atiyah, M. F.; I. M. Singer (1968a). “The index of elliptic operators I” (영어). 《Annals of Mathematics》 87 (3): 484–530. doi:10.2307/1970715. JSTOR 1970715. 
  3. Atiyah, M. F.; I. M. Singer (1968b). “The index of elliptic operators III” (영어). 《Annals of Mathematics》 87 (3): 546–604. doi:10.2307/1970717. JSTOR 1970717. 
  4. Atiyah, M. F.; I. M. Singer (1971). “The index of elliptic operators IV” (영어). 《Annals of Mathematics》 93 (1): 119–138. doi:10.2307/1970756. JSTOR 1970756. 
  5. Atiyah, M. F.; I. M. Singer (1971). “The index of elliptic operators V” (영어). 《Annals of Mathematics》 93 (1): 139–149. doi:10.2307/1970757. JSTOR 1970757. 
  6. Albers, Donald J.; G. L. Alexanderson, Constance Reid (1986). 《International mathematical congresses: An illustrated history 1893–1986》 (영어) 개정판. New York: Springer-Verlag. 
  7. “Atiyah and Singer Receive 2004 Abel Prize” (영어). 《Notices of the American Mathematical Society》 51 (6): 649–650. 2004년 6월. 
  8. “The Abel Prize Laureate 2004”. 
  9. Alvarez-Gaumé, Luis (1983). “Supersymmetry and the Atiyah-Singer index theorem” (영어). 《Communications in Mathematical Physics90 (2): 161–173. doi:10.1007/BF01205500. 
  10. Alvarez-Gaumé, Luis (1984년 3월). “Supersymmetry and the Atiyah-Singer index theorem” (영어). 《Physica A: Statistical Mechanics and its Applications124 (1–3): 29–45. doi:10.1016/0378-4371(84)90224-3. 
  11. Getzler, Ezra (1986). “A short proof of the local Atiyah-Singer index theorem”. 《Topology》 25 (1): 111–117. doi:10.1016/0040-9383(86)90008-X. MR 836727. 

바깥 고리[편집]