타원 복합체

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편미분 방정식 이론과 미분기하학에서, 타원 복합체(楕圓複合體, elliptic complex)란 프레드홀름 작용소로 이루어진 사슬 복합체다. 드람 복합체돌보 복합체를 일반화한 것이다.

정의[편집]

M이 매끈한 미분다양체라고 하자. E_i (i=0,1,\dots)가 M 위의 벡터다발이라고 하자. 또한 D_i\colon E_i\to E_{i+1}이 벡터다발 단면 사이의 미분 연산자라고 하자. 즉, 다음과 같은 꼴이다.

\cdots\stackrel{D_{i-2}}{\longrightarrow}\Gamma(E_{i-1}) \stackrel{D_{i-1}}{\longrightarrow} \Gamma(E_i) \stackrel{D_i}{\longrightarrow}\Gamma(E_{i+1})\stackrel{D_{i+1}}{\longrightarrow} \cdots.

이 연산자들이 각각 프레드홀름 작용소이고, 또한 D_{i+1}\circ D_i=0을 만족한다고 하자. 그렇다면 이 구조를 타원 복합체라고 한다.

여기서 프레드홀름 작용소타원 미분작용소의 한 종류다. 만약 M콤팩트하다면, 모든 타원 미분작용소는 프레드홀름 작용소이다.

참고 문헌[편집]