히르체브루흐-리만-로흐 정리

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수학에서, 히르체브루흐-리만-로흐 정리(영어: Hirzebruch–Riemann–Roch theorem)는 리만-로흐 정리를 임의의 차원의 복소다양체 위의 일반적인 해석적 벡터다발로 일반화한 정리다.

정의[편집]

콤팩트 복소다양체 X 위에 해석적 벡터다발 E\to X가 있다고 하자. 그렇다면 E코호몰로지와, 이에 대응하는 오일러 지표 \chi(E)를 정의할 수 있다. 히르체브루흐-리만-로흐 정리에 따르면, 이는 다음과 같다.

\chi(E)=\int_X\operatorname{ch}(E)\operatorname{Td}(X)

여기서 \operatorname{ch}(E)E천 지표, \operatorname{Td}(X)X접다발토드 류(Todd class)다.

[편집]

X리만 곡면이라고 하고, E\to M인자류 [D]에 대응하는 해석적 선다발이라고 하자. 그렇다면

\chi(E)=h^0(E)-h^1(E)
\operatorname{ch}(E)=1+c_1(E)
\operatorname{Td}(X)=1+c_1(X)/2

이다. 따라서 히르체브루흐-리만-로흐 정리는

h^0(E)-h^1(E)=\int_X(c_1(E)+c_1(X)/2)

이다. 복소1차원에서, 오일러 류c_1이므로, c_1(X)X오일러 지표

\int_Xc_1(X)=\chi(X)=2-2g

이다. 여기서 gX의 종수(genus)다. 또한,

\int_Xc_1(E)=\deg D

이다. 또한,

h^0(E)=I(D)

이고, 세르 쌍대성에 의하여

h^1(E)=h^0(\mathcal O(K)\otimes E^{-1})=I(K-D)

(K표준 선다발의 인자)이므로, 리만-로흐 정리

I(D)-I(K-D)=\deg D+1-g

를 얻는다.

역사[편집]

프리드리히 히르체브루흐가 1954년에 증명하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Hirzebruch, F. (1954년 2월 1일). Arithmetic genera and the theorem of Riemann–Roch for algebraic varieties. 《Proceedings of the National Academy of Sciences》 40 (2): 110–114. doi:10.1073/pnas.40.2.110. ISSN 0027-8424.

같이 보기[편집]