디랙 연산자

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미분기하학이론물리학에서, 디랙 연산자(영어: Dirac operator)는 라플라스 연산자의 제곱근인 미분 연산자이다.

정의[편집]

리만 다양체 (M,g) 위에 벡터다발

E\twoheadrightarrow M

이 있다고 하자. 또한, 벡터다발에 접속

\nabla\colon\Gamma(E)\to\Gamma(E)\otimes T^*M

이 존재해, 라플라스 연산자

\Delta=g^{\mu\nu}\nabla_\mu\nabla_\nu\colon\Gamma(E)\to\Gamma(E)

를 정의할 수 있다고 하자.

디랙 연산자

D\colon\Gamma(E)\to\Gamma(E)

D^2=\Delta

를 만족시키는 미분작용소이다. 디랙 연산자를 정의하려면, E를 보다 큰 다발 E\hookrightarrow\tilde E로 확대시키는 것이 용이할 수 있다. 예를 들어, 벡터장의 디랙 연산자를 정의하려면, 접다발을 스피너 다발로 확대시켜야 한다.

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곡선 위의 벡터다발[편집]

계량이 주어진 곡선 \gamma 위의 다발 E\twoheadrightarrow\gamma의 경우, 디랙 연산자는 단순히

D=\nabla

이다.

접다발[편집]

리만 다양체 (M,g) 위의 접다발 TM에는 자연스러운 레비치비타 접속이 존재한다. 만약 M스핀 다양체라면, 접다발을 (디랙) 스피너 다발

TM\hookrightarrow SM

으로 확장시켜 디랙 연산자를 정의할 수 있다. SM2^{\lfloor\dim M/2\rfloor}차원 복소 벡터다발이다. 스피너 다발의 올은 복소 클리퍼드 대수 \operatorname{Cl}(T_x^{\mathbb C}M,g)이며, 그 기저

\{1,\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_1\gamma_2,\gamma_1\gamma_3,\dots,\gamma_1\gamma_2\gamma_3,\dots,\gamma_1\gamma_2\dots\gamma_{\dim M}\}

의 꼴이다. 이들은 클리퍼드 곱

\gamma_i\gamma_j+\gamma_j\gamma_i=2g_{ij}

을 따른다. 이 경우 매장

TM\hookrightarrow SM

v^i\mapsto v^i\gamma_i

의 꼴이다. 이 경우 디랙 연산자는

D=g^{ij}\gamma_i\nabla_j

이다. 즉,

D^2=\{D,D\}/2=\frac12\{\gamma^i\gamma^j\}\nabla_i\nabla_j=g^{ij}\nabla_i\nabla_j=\Delta

이다.

참고 문헌[편집]