스핀 다양체

스핀 다양체(spin多樣體, 영어: spin manifold)는 스피너장을 정의할 수 있는 다양체다. 즉 틀다발 $P_\mathrm{SO}M\to M$을 이중 덮개다양체 $\operatorname{Spin}(n)\to\operatorname{SO}(n)$에 대하여 적절히 주다발 $P_\mathrm{Spin}M\to M$으로 확장할 수 있는 가향 (유사) 리만다양체다.

정의

$n$차원 가향 (유사) 리만 다양체 $(M,g)$ 위의 스핀 구조(영어: spin structure)는 다음을 만족하는 Spin(n)-주다발 $\pi_{\operatorname{Spin}}\colon P_{\mathrm{Spin}}(M)\to M$과 이중 덮개사상 $p\colon P_{\operatorname{Spin}}(M)\to P_{\operatorname{SO}}(M)$ 으로 구성된다.

• $\pi_{\operatorname{SO}}\circ p=\pi_{\operatorname{Spin}}$
• 임의의 $x\in P_{\operatorname{Spin}}$, $h\in\operatorname{Spin}(n)$에 대하여 $p(x\cdot h)=p(x)\cdot\rho(h)$이다. (여기서 $\cdot$은 적절한 군의 작용이다.) 즉 군의 작용은 $p$와 가환한다.

여기서 $\rho\colon\operatorname{Spin}(n)\to\operatorname{SO}(n)$은 군 준동형사상이고, $\pi_{\operatorname{SO}}\colon P_{\operatorname{SO}}(M)\to M$은 $M$의 접다발 $TM$의 계량 텐서 $g$에 대하여 불변인 회전 (로런츠) 변환으로 이루어진 $SO(n)$ (또는 부호수에 따라 $SO(n-k,k)$) 주다발이다.

스핀 다양체는 스핀 구조를 지닌 가향 (유사) 리만다양체다.

$n$차원의 (적절한 부호수를 지닌) 스피너의 복소 벡터 공간을 $\Delta$이라고 부르자. 스핀 군은 스피너 공간에 유니터리하게 작용한다. 즉 $\kappa\colon\operatorname{Spin}(n)\to\mathrm U(\Delta)$이다. 이에 따라, 그 올이 $\Delta$인 복소 벡터 다발

$S=P_{\operatorname{Spin}}\times_\kappa\Delta$

을 정의할 수 있다. 이를 스피너 다발(영어: spinor bundle)이라고 한다. 스핀 다양체 위의 스피너장(영어: spinor field)은 스피너 다발의 단면이다.

스핀C 구조

스핀C 군(spin^c group) $\operatorname{Spin^c}(n)$은 다음 짧은 완전열을 만족한다.

$1\to\mathbb Z_2\stackrel{\kappa\times\iota}{\hookrightarrow}\operatorname{Spin}(n)\times\operatorname{U}(1)\twoheadrightarrow\operatorname{Spin^c}(n)\to1$.

여기서 $\kappa\times\iota$는 다음 두 준동형사상의 대각선 사상이다.

$1\to\mathbb Z_2\stackrel{\kappa}\hookrightarrow\operatorname{Spin}(n)\twoheadrightarrow\operatorname{SO}(n)\to1$

$1\to\mathbb Z_2\stackrel{\iota}\hookrightarrow\operatorname{U}(1)\twoheadrightarrow\operatorname{U}(1)\to1$

따라서, 스핀C 군은 다음과 같은 짧은 완전열 또한 만족시킨다.

$1\to\mathbb Z_2\hookrightarrow\operatorname{Spin^c}(n)\twoheadrightarrow\operatorname{SO}(n)\times\operatorname{U}(1)\to1$.

스핀C 구조(spin^c structure)의 정의는 스핀 구조의 정의와 유사하지만, 스핀 군 대신 스핀C 군을 사용한다.

스핀/스핀C 구조의 존재 조건

다양체 $M$에서 스핀 구조가 존재할 필요충분조건은 2차 스티펠-휘트니 모임(Stiefel-Whitney class) $w_2\in H^2(M,\mathbb Z_2)$가 0인지 여부이다. 마찬가지로, 스핀C 구조가 존재할 필요충분조건은 3차 스티펠-휘트니 모임 $w_3\in H^3(M,\mathbb Z_2)$가 0인지 여부이다.

참고 문헌

• (영어) Ebert, Johannes Felix (2006년 7월). 《Characteristic classes of spin surface bundles: Applications of the Madsen-Weiss theory》, 박사 학위 논문, Universität Bohn
• (영어) Lawson, H. Blaine, Marie-Louise Michelsohn (1989). 《Spin Geometry》, Princeton Mathematical Series 38, Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08542-5
• (영어) Friedrich, Thomas (2000). 《Dirac Operators in Riemannian Geometry》. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2055-1
• Alekseevskii, D.V.. 〈Spin structure〉, 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer/European Mathematical Society. ISBN 1402006098

같이 보기

• 스핀 접속
• 스피너