스핀 다양체

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미분기하학에서, 스핀 다양체(spin多樣體, 영어: spin manifold)는 스피너장을 정의할 수 있는 다양체다. 즉 틀다발 P_\mathrm{SO}M\to M을 이중 덮개다양체 \operatorname{Spin}(n)\to\operatorname{SO}(n)에 대하여 적절히 주다발 P_\mathrm{Spin}M\to M으로 확장할 수 있는 가향 (유사) 리만 다양체다.

스핀 구조[편집]

n차원 가향 (유사) 리만 다양체 (M,g) 위의 스핀 구조(영어: spin structure)는 다음을 만족하는 Spin(n)-주다발 \pi_{\operatorname{Spin}}\colon P_{\mathrm{Spin}}(M)\to M과 이중 덮개사상 p\colon P_{\operatorname{Spin}}(M)\to P_{\operatorname{SO}}(M) 으로 구성된다.

  • \pi_{\operatorname{SO}}\circ p=\pi_{\operatorname{Spin}}
  • 임의의 x\in P_{\operatorname{Spin}}, h\in\operatorname{Spin}(n)에 대하여 p(x\cdot h)=p(x)\cdot\rho(h)이다. (여기서 \cdot은 적절한 군의 작용이다.) 즉 군의 작용은 p와 가환한다.

여기서 \rho\colon\operatorname{Spin}(n)\to\operatorname{SO}(n)은 군 준동형사상이고, \pi_{\operatorname{SO}}\colon P_{\operatorname{SO}}(M)\to MM접다발 TM계량 텐서 g에 대하여 불변인 회전 (로런츠) 변환으로 이루어진 SO(n) (또는 부호수에 따라 SO(n-k,k)) 주다발이다.

스핀 다양체는 스핀 구조를 지닌 가향 (유사) 리만다양체다.

n차원의 (적절한 부호수를 지닌) 스피너의 복소 벡터 공간\Delta이라고 부르자. 스핀 군은 스피너 공간에 유니터리하게 작용한다. 즉 \kappa\colon\operatorname{Spin}(n)\to\mathrm U(\Delta)이다. 이에 따라, 그 \Delta인 복소 벡터 다발

S=P_{\operatorname{Spin}}\times_\kappa\Delta

을 정의할 수 있다. 이를 스피너 다발(영어: spinor bundle)이라고 한다. 스핀 다양체 위의 스피너장(영어: spinor field)은 스피너 다발의 단면이다.

존재 조건[편집]

다양체 M 위에 스핀 구조가 존재할 필요충분조건은 2차 스티펠-휘트니 모임(Stiefel-Whitney class)

w_2(M)\in H^2(M,\mathbb Z/2)

가 0인지 여부이다.

분류[편집]

만약 미분다양체 M 위에 스핀 구조가 존재한다면, 그 스핀 구조들의 집합은 코호몰로지류 H^2(M,\mathbb Z/2)의 집합과 일대일 대응한다. 이 대응성은 표준적(canonical)이지 않다.

직관적으로 해석하면, 축약불가능 폐곡선들을 따라 스피너평행운송하였을 때 그 부호가 ±인지 여부가 스핀 구조를 결정짓는다.

스핀C 구조[편집]

스핀C 군(spinc group) \operatorname{Spin^c}(n)은 다음 짧은 완전열을 만족한다.

1\to\mathbb Z_2\stackrel{\kappa\times\iota}{\hookrightarrow}\operatorname{Spin}(n)\times\operatorname{U}(1)\twoheadrightarrow\operatorname{Spin^c}(n)\to1.

여기서 \kappa\times\iota는 다음 두 준동형사상의 대각선 사상이다.

1\to\mathbb Z_2\stackrel{\kappa}\hookrightarrow\operatorname{Spin}(n)\twoheadrightarrow\operatorname{SO}(n)\to1
1\to\mathbb Z_2\stackrel{\iota}\hookrightarrow\operatorname{U}(1)\twoheadrightarrow\operatorname{U}(1)\to1

따라서, 스핀C 군은 다음과 같은 짧은 완전열 또한 만족시킨다.

1\to\mathbb Z_2\hookrightarrow\operatorname{Spin^c}(n)\twoheadrightarrow\operatorname{SO}(n)\times\operatorname{U}(1)\to1.

스핀C 구조(spinc structure)의 정의는 스핀 구조의 정의와 유사하지만, 스핀 군 대신 스핀C 군을 사용한다.

존재 조건[편집]

다양체 M 위에 스핀C 구조가 존재할 필요충분조건은 3차 정수 스티펠-휘트니 모임

W_3(M)=\beta w_2\in H^3(M,\mathbb Z)

가 0인지 여부이다. 여기서 \beta복슈테인 준동형사상

\beta\colon H^2(M,\mathbb Z/2)\to H^3(M,\mathbb Z)

이다.

분류[편집]

만약 다양체 M 위에 스핀C 구조가 존재할 수 있다면, 가능한 스핀C 구조들은 H^2(M,\mathbb Z)와 비표준적으로(noncanonically) 일대일 대응한다.

이는 직관적으로 다음과 같이 해석할 수 있다. 아벨 군짧은 완전열

0\to\mathbb Z\stackrel{\cdot2}\hookrightarrow\mathbb Z\stackrel{\mod2}\twoheadrightarrow\mathbb Z/2\to0

을 생각하자. 이에 따라, 지그재그 보조정리를 사용하여 다음과 같은 긴 완전열이 존재한다.

\cdots\to H^2(M,\mathbb Z)\xrightarrow{\cdot2}H^2(M,\mathbb Z)\xrightarrow{\mod2} H^2(M,\mathbb Z/2)\xrightarrow\beta H^3(M,\mathbb Z)\to\cdots

여기서 \beta복슈테인 준동형사상이다.

스핀C 구조는 원래 방해물(obstruction)에 막혀 스핀 구조를 이루지 못하는 구조를, 같은 방해물에 막혀 U(1) 주다발을 이루지 못하는 구조로 뒤틀어(twist) 만든 것이다. U(1) 주다발들은 그 천 류 c_2\in H^2(M,\mathbb Z)에 의하여 분류된다. 이는 위 긴 완전열에서 첫 H^2(M,\mathbb Z)에 해당하며, 이는 두 번째 H^2(M,\mathbb Z)에서 \cdot2에 해당한다. 반면, 방해물에 막힌 U(1) "주다발"은 두 번째 H^2(M,\mathbb Z)에서 \cdot2에 속하지 않은 원소들이다. 이 원소를 \alpha\in H^2(M,\mathbb Z)라고 하자. 스핀 구조의 방해물은 2차 슈티펠-휘트니 류 w_2\in H^2(M,\mathbb Z/2)이므로, 이 방해물이 U(1) "주다발"의 방해물 \alpha와 같으려면 \mod2에 따른 \alphaw_2이어야 한다. 완전열의 성질에 의하여, 이 조건은 w_2복슈테인 준동형사상에 따른 상 \beta w_2=W_3\in H^3(M,\mathbb Z)=0인 조건과 동치이다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

  • (영어) Alekseevskii, D.V. (2001). Spinor structure. 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer.

같이 보기[편집]