리치 곡률 텐서

리치 곡률 텐서(Ricci曲率tensor, 영어: Ricci curvature tensor)는 리만 다양체의 곡률을 나타내는 2-텐서장으로, 리만 곡률 텐서의 대각합이다. 부피의 왜곡을 나타내는 것으로 해석할 수 있다. 리만 기하학과 일반 상대성 이론에서 쓴다.

정의

리만 곡률 텐서 $R(\cdot,\cdot)$을 생각하자. 리만 곡률 텐서는 4-텐서로, 대칭 및 반대칭 성질에 따라 0이 아닌 대각합이 사실상 하나밖에 없다. 이는 다음과 같다.

$\operatorname{Ric}(\xi,\eta)=\operatorname{Tr}\left[R(\cdot,\eta)\xi\right]$.

국소 좌표계로 쓰면 다음과 같다. 아인슈타인 표기법을 쓰자.

$R_{ab} = {R^c}_{acb} =2 \Gamma^{c}_{{a[b,c]}} +2 \Gamma^c_{d [c} \Gamma^d_{b]a}$.

성질

리치 곡률 텐서는 다음과 같은 성질을 지닌다.

대칭성

$\operatorname{Ric}(\xi,\eta)=\operatorname{Ric}(\eta,\xi)$.

함께 보기

• 스칼라 곡률
• 리만 곡률 텐서
• 크리스토펠 기호
• 리만 기하학