리치 곡률 텐서

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리치 곡률 텐서(Ricci曲率tensor, 영어: Ricci curvature tensor)는 리만 다양체곡률을 나타내는 2-텐서장으로, 리만 곡률 텐서대각합이다. 부피의 왜곡을 나타내는 것으로 해석할 수 있다. 리만 기하학일반 상대성 이론에서 쓴다.

정의[편집]

리만 곡률 텐서 R(\cdot,\cdot)을 생각하자. 리만 곡률 텐서는 4-텐서로, 대칭 및 반대칭 성질에 따라 0이 아닌 대각합이 사실상 하나밖에 없다. 이는 다음과 같다.

\operatorname{Ric}(\xi,\eta)=\operatorname{Tr}\left[R(\cdot,\eta)\xi\right].

국소 좌표계로 쓰면 다음과 같다. 아인슈타인 표기법을 쓰자.


R_{ab} = {R^c}_{acb}
=2 \Gamma^{c}_{{a[b,c]}} +2 \Gamma^c_{d [c} \Gamma^d_{b]a}.

성질[편집]

리치 곡률 텐서는 2차 대칭 텐서이다. 즉, 다음이 성립한다.

\operatorname{Ric}(\xi,\eta)=\operatorname{Ric}(\eta,\xi).

리치 곡률 텐서는 (바일 곡률 텐서와 달리) 곱공간에서 블록 대각 행렬로 분해된다.[1] 즉, 두 리만 다양체 (M_1,g_1),(M_2,g_2)곱공간 M=M_1\times M_2에 블록 대각 계량 텐서

g=\begin{pmatrix}g_1&0\\0&g_2\end{pmatrix}

를 주었을 때, 리치 곡률 텐서 역시 블록 대각 꼴을 취한다.

\operatorname{Ric}[g]=\begin{pmatrix}\operatorname{Ric}[g_1]&0\\0&\operatorname{Ric}[g_2]\end{pmatrix}

역사[편집]

그레고리오 리치쿠르바스트로의 이름을 땄다. 리치쿠르바스트로는 1900년 툴리오 레비치비타와 공저한 논문[2]에서 이름을 "리치"(이탈리아어: Ricci)로 줄여 썼는데, 이 때문에 "리치 텐서"로 이름지어졌다. (리치쿠르바스트로가 쓴 다른 논문에서는 정식 이름을 사용하였다.)

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Ficken, F. A. (1939년 4월). The Riemannian and affine differential geometry of product-spaces. 《Annals of Mathematics (second series)》 40 (4): 892–913. doi:10.2307/1968900. JSTOR 1968900.
  2. (프랑스어) Ricci, Gregorio, Tullio Levi-Civita (March 1900). 《Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications》. Springer, 125–201쪽. doi:10.1007/BF01454201

함께 보기[편집]