바일 곡률 텐서

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바일 곡률 텐서(영어: Weyl curvature tensor)는 리만 다양체곡률을 나타내는 완전 무대각합 (totally trace-free) 4-텐서장이다. 리만 곡률 텐서에서 리치 곡률 텐서에 해당하는 성분을 빼 없애고 남은 성분으로 생각할 수 있다. 4차원 이상에서는, 바일 곡률 텐서가 0인 것은 다양체가 등각평탄(영어: conformally flat)할 필요충분조건이다. 일반 상대성 이론에서는 중력파를 나타낸다.

정의[편집]

n차원 리만 다양체의 바일 텐서 W는 다음과 같다.

W = R - \frac{1}{n-2}\left(\operatorname{Ric} - \frac{s}{n}g\right)\circ g - \frac{s}{2n(n-1)}g\circ g.

여기서 g계량 텐서, R리만 곡률 텐서, \operatorname{Ric}리치 곡률 텐서, s스칼라 곡률이다. \circ는 (0,2)-텐서의 쿨카르니-노미즈(영어: Kulkarni–Nomizu) 곱으로서, 다음과 같다.

(h\circ k)(v_1,v_2,v_3,v_4) =h(v_1,v_3)k(v_2,v_4)+h(v_2,v_4)k(v_1,v_3)-h(v_1,v_4)k(v_2,v_3)-h(v_2,v_3)k(v_1,v_4).

국소 좌표로 쓰면 다음과 같다. (아인슈타인 표기법을 쓰자.)

W_{abcd}=R_{abcd}-\frac{2}{n-2}(g_{a[c}R_{d]b}-g_{b[c}R_{d]a})+\frac{2}{(n-1)(n-2)}R~g_{a[c}g_{d]b}.

성질[편집]

바일 곡률 텐서를 (3,1)-텐서로 나타내자.

W^a{}_{bcd}

그렇다면 이 텐서는 바일 변환 (등각 변환) g_{ab}(x)\to\lambda(x)g_{ab}에 대하여 불변이다. 반면 리만 곡률 텐서 전체나 리치 곡률 텐서, 스칼라 곡률은 바일 변환에 대하여 복잡하게 변환한다.