바일 곡률 텐서

바일 곡률 텐서(영어: Weyl curvature tensor)는 리만 다양체의 곡률을 나타내는 완전 무대각합 (totally trace-free) 4-텐서장이다. 리만 곡률 텐서에서 리치 곡률 텐서에 해당하는 성분을 빼 없애고 남은 성분으로 생각할 수 있다. 4차원 이상에서는, 바일 곡률 텐서가 0인 것은 다양체가 등각평탄(영어: conformally flat)할 필요충분조건이다. 일반 상대성 이론에서는 중력파를 나타낸다.

정의

n차원 리만 다양체의 바일 텐서 $W$는 다음과 같다.

$W = R - \frac{1}{n-2}\left(\operatorname{Ric} - \frac{s}{n}g\right)\circ g - \frac{s}{2n(n-1)}g\circ g$.

여기서 $g$는 계량 텐서, $R$은 리만 곡률 텐서, $\operatorname{Ric}$은 리치 곡률 텐서, $s$는 스칼라 곡률이다. $\circ$는 (0,2)-텐서의 쿨카르니-노미즈(영어: Kulkarni–Nomizu) 곱으로서, 다음과 같다.

$(h\circ k)(v_1,v_2,v_3,v_4) =h(v_1,v_3)k(v_2,v_4)+h(v_2,v_4)k(v_1,v_3)-h(v_1,v_4)k(v_2,v_3)-h(v_2,v_3)k(v_1,v_4)$.

국소 좌표로 쓰면 다음과 같다. (아인슈타인 표기법을 쓰자.)

$W_{abcd}=R_{abcd}-\frac{2}{n-2}(g_{a[c}R_{d]b}-g_{b[c}R_{d]a})+\frac{2}{(n-1)(n-2)}R~g_{a[c}g_{d]b}$.