아인슈타인 표기법

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아인슈타인 표기법(Einstein notation) 또는 아인슈타인의 합 규약(Einstein summation convention)은 수학선형대수학물리학에 응용하면서 좌표계에 관한 공식을 다룰 때 유용한 표기 규칙이다. 알베르트 아인슈타인이 이 표기법을 1916년에 처음 소개하였다. [1]

이 표기법에서, 한 항에 동일한 첨자가 윗첨자와 아랫첨자로 한 번씩 짝을 지어 나타날 경우, (마치 합의 기호가 항의 앞에 있을 때처럼) 해당 첨자가 가질 수 있는 모든 값에 대해 항의 값을 전부 더하는 것으로 이해한다. 여기에서 첨자는 보통 물리적 유클리드 공간의 세 차원을 나타내는 1,2,3이나 시공간 혹은 민코프스키 공간의 네 차원을 나타내는 0,1,2,3 혹은 1,2,3,4의 값을 취하나, 특정한 무한집합의 임의의 원소를 취할 수 있도록 놓는 경우도 있다.

정의[편집]

아래와 같은 식을 생각해보자.

 y = c_1x_1+c_2x_2+c_3x_3+ ... + c_nx_n \,

매우 복잡해 보이는 식이지만 합의 기호를 사용하면 비교적 간단한 형태로 식을 바꿀 수 있다.

 y  = \sum_{i=1}^n c_ix_i

여기에 아인슈타인 표기법을 사용해 식을 더 간단하게 표현할 수 있다.

 y = c_i x^i \,

단, 여기서 위첨자가 지수승을 의미하지 않는다. (좀 더 정확히 말하면, 위첨자가 붙은 변수는 벡터, 아래첨자가 붙은 변수는 코벡터를 의미한다.) 이렇게, 아인슈타인 표기법에선 중복된 첨자를 이용해 마치 분수에서 약분을 하듯이 첨자에 대한 합을 해 첨자를 없애 합의 기호를 대체한다.

이 표기법으로 나타낸 연산자들[편집]

내적[편집]

임의의 n × 1 열벡터 vi와 1 × n 행벡터 ui에 대해 두 벡터 vi, ui 의 내적을 다음과 같이 표현할 수 있다.

v^i u_i = v^1 u_1 + v^2 u_2 + ... + v^n u_n \,

외적[편집]

임의의 m × 1 열벡터 vi와 1 × n 행벡터 uj에 대해 두 벡터 vi, uj외적을 다음과 같이 표현할 수 있다.

u^i v_j = A^i _j

결과적으로, m × n 행렬 A를 얻게 된다.

행렬과 벡터의 곱[편집]

임의의 m × n 행렬 Ai j와 n × 1 열벡터 vj가 주어졌을때,두 행렬의 곱의 결과를 ui라 하면 이 곱을 다음과 같이 표현할 수 있다.

u^i = A^i _j v^j

대각합[편집]

임의의 n × n 행렬 A의 대각합 tr(A)는 다음과 같이 표현할 수 있다.

\textrm{tr}(A) = A^i _i

벡터의 좌표와 기저를 통한 표기[편집]

e1, e2e3를 3차원 공간의 기저라 하자. 일반적인 표기법을 통해 벡터 u를 표시하면,

\mathbf{u} = u^1 \mathbf{e}_1 + u^2 \mathbf{e}_2 + u^3 \mathbf{e}_3 = \sum_{i = 1}^3 u^i \mathbf{e}_i

이 된다. 이를 아인슈타인 표기법을 사용해 나타내면,

\mathbf{u} = u^i \mathbf{e}_i

이다.

스칼라곱[편집]

두 벡터 a = [a1, a2, … , an], b = [b1, b2, … , bn]라 하자. 두 벡터의 스칼라 곱을 아인슈타인 표기법을 사용해 나타내면 아래와 같은 텐서 방정식을 얻는다.

\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = (u^i \mathbf{e}_i) \cdot (u^j \mathbf{e}_j) = u^i u^j ( \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j)

여기서 기저의 성질에 의해

\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j = \left\{\begin{matrix} 
1, & \mbox{if } i=j   \\ 
0, & \mbox{if } i \ne j   \end{matrix}\right.

임을 알 수 있다. 이 텐서를 크로네커 델타 δij 라 정의한다. 마지막으로 이 텐서를 이용해 스칼라곱을 표현하면 아래와 같은 식을 얻는다.

\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = a^i b^j \delta_{ij}

벡터곱[편집]

두 벡터 u = [u1, u2, u3], v = [v1, v2, v3]라 하자. 두 벡터의 벡터곱을 아인슈타인 표기법을 사용해 나타내면 아래와 같은 텐서 방정식을 얻는다.

 \mathbf{u} \times \mathbf{v}= (u^j \mathbf{e}_j ) \times (v^k
   \mathbf{e}_k) = u^j v^k (\mathbf{e}_j \times \mathbf{e}_k )

여기서 기저의 성질에 의해

\mathbf{e}_j \times \mathbf{e}_k = \varepsilon^i _{jk} \mathbf{e}_i
 \varepsilon^i _{jk} = \delta^{il} \varepsilon_{ljk}
 \varepsilon_{ijk} = \begin{cases}
+1 & \mbox{if } (i,j,k) \mbox{ is } (1,2,3), (3,1,2) \mbox{ or } (2,3,1), \\
-1 & \mbox{if } (i,j,k) \mbox{ is } (3,2,1), (1,3,2) \mbox{ or } (2,1,3), \\
0 & \mbox{otherwise: }i=j \mbox{ or } j=k \mbox{ or } k=i,
\end{cases}

임을 알 수 있다. 여기서 텐서 εijk레비-시비타 기호라 한다. 마지막으로 이 텐서를 이용해 벡터곱을 표현하면 아래와 같은 식을 얻는다.

 \mathbf{u} \times \mathbf{v}= \epsilon^i_{jk} u^j v^k\mathbf{e}_i 
   .

참고자료[편집]

  1. (1916년) The Foundation of the General Theory of Relativity (PDF). 《Annalen der Physik》. 2006년 9월 3일에 확인.