민코프스키 공간

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민코프스키 공간(Minkowski space) 또는 민코프스키 시공간(Minkowski spacetime)이란 물리학수학에서 사용되는 아인슈타인특수상대성이론을 잘 기술하는 수학적 공간이다. 이 공간에서는 일반적인 3차원 공간과 1차원의 시간이 서로 조합되어 시공간의 4차원 다양체를 표현한다. 이 공간의 이름은 독일수학자, 헤르만 민코프스키 에서 따왔다.

이론물리학에서, 민코프스키 공간과 유클리드 공간은 자주 비교된다. 유클리드 공간은 오직 공간적인 차원만을 가지고 있는 반면에 민코프스키 공간은 공간적 차원 뿐만 아니라 하나의 시간적 차원을 가지고 있기 때문이다. 그러므로 유클리드 공간의 대칭군유클리드 군, 민코프스키 공간의 대칭군은 푸앵카레 군에 속한다.

구조[편집]

민코프스키 공간은 안겹친 4차원 벡터공간이다. 또한, 계량 부호수 (-,+,+,+)를 갖는 (간혹, (+,−,−,−)를 부호수로 사용하기도 한다.) 대칭적 겹선형형식이다. 바꿔 말하면, 민코프스키 공간은 k = 3인 4차원 유사 유클리드 공간 이다. 기호로는 계량 부호수를 강조하기 위해 R1,3 으로 나타낸다. 또한, M4 또는 간단히 M으로 표기하기도 한다.

민코프스키 공간의 원소는 사건 또는 사차원 벡터라고 불린다. 민코프스키 공간은 준 리만 다양체중 가장 간단한 예 중의 하나이다.

민코프스키 내적[편집]

이 내적은 유클리드 공간의 내적과 비슷하지만 민코프스키 공간의 상대성이론과 관련된 다른 기하학을 기술하기 위해 다른점이 있다. M을 4차원 실벡터공간이라 하자. 민코프스키 내적은 다음과 같은 성질을 만족하는 사상 η: M × MR 이다. (즉, 주어진 공간 M의 임의의 두 벡터 v, w 에 대해 실수를 주는 함수 η(v,w)를 정의할 수 있다.)

임의의 실수 a와 민코프스키 공간의 벡터 u, v, w에 대해,

1. 겹선형성 η(au + v, w) = aη(u, w) + η(v, w)
2. 대칭성 η(v,w) = η(w,v)
3. 비겹침성 η(v,w) = 0 이면 v = 0.

민코프스키 내적은 양의 정부호가 아니기 때문에, 엄밀히 말하면 내적이 아니다. 즉, 벡터 v민코프스키 노름은 ||v||2 = η(v,v)로 표현은 하지만, 항상 양수일 필요는 없다. 이 양의 정부호 조건은 조금 더 약한 조건인 비겹침성으로 대체될 수 있다. (모든 양의 정부호 형태는 비겹침이지만, 역은 거짓이다.) 이러한 내적은 부정(indefinite)이라고 한다.

유클리드 공간에서처럼, 두 벡터 v, w가 η(v, w) = 0 을 만족하면 두 벡터는 직교하다라고 한다. 여기에는 민코프스키 공간의 패러다임의 전환이 들어있는데, η(v, w) < 0 인 쌍곡적 직교인 사건들이 그것이다. 이 새로운 패러다임으로의 전환은 일반적인 복소평면의 유클리드 구조와 분할 복소수의 구조가 비교 되면서 명백해졌다.

민코프스키 공간에서 단위 벡터는 η(v,v) = ±1 을 만족하는 벡터 v를 말한다. 또한, 상호적으로 직교인 단위벡터로 구성된 민코프스키 공간의 기저는 정규직교기저라 불린다.

다음과 같은 정리가 있다 : 위 조건을 만족하는 아무 내적 공간이나 항상 정규직교기저를 가진다. 게다가 이 정리는 어떤 기저에서 양의 단위벡터와 음의 단위 벡터의 수는 고정되어 있음을 말한다. 이 수의 짝을 내적의 부호수라 한다.

그러면, \eta에 대한 네 번째 조건은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

4. 부호수 겹선형형식 η 는 (-,+,+,+)를 부호수로 갖는다.

표준 기저[편집]

민코프스키 공간의 표준 기저는 상호적으로 직교인 다음과 같은 4개의 벡터(\mathbf e_0, \mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3)이다.

-(\mathbf{e}_0)^2 = (\mathbf{e}_1)^2 = (\mathbf{e}_2)^2 = (\mathbf{e}_3)^2 = 1

이 조건은 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다.

\langle \mathbf{e}_\mu , \mathbf{e}_\nu \rangle = \eta_{\mu\nu}

여기서 \mu, \nu는 (0, 1, 2, 3)중 하나의 숫자를 갖는 지표를 뜻하고 행렬 \eta은 다음과 같이 주어진다.

\eta = \begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}

이 표준 기저를 사용해 벡터 \mathbf v의 성분은 보통 (v_0, v_1, v_2, v_3)로 쓴다. 또한, 아인슈타인 표기법을 사용하면 간단히 이 성분들을 \mathbf v = v^\mu \mathbf e_\mu로 나타낼 수 있다. 성분 v^0\mathbf v시간적 성분이라고 말하고, 나머지 3개의 성분은 공간적 성분이라 말한다.

성분을 사용해 두 벡터 \mathbf{v, w}의 민코프스키 내적을 표현하면 다음과 같다. 중간부분에는 아인슈타인 표기법이 사용되었다.

\langle \mathbf{v} , \mathbf{w} \rangle = \eta_{\mu\nu}v^\mu w^\nu = - v^0 w^0 + v^1 w^1 + v^2 w^2 + v^3 w^3

벡터 \mathbf v의 민코프스키 노름에 제곱을 취한것도 다음과 같이 성분으로 나타낸다.

||\mathbf{v}||^2 =  \eta_{\mu\nu}v^\mu v^\nu = - v^0 v^0 + v^1 v^1 + v^2 v^2 + v^3 v^3