커 계량

커 계량(영어: Kerr metric)은 회전하는 블랙홀을 나타내는, 아인슈타인 방정식의 해다. 뉴질랜드의 수학자 로이 커(영어: Roy Kerr)가 1963년에 발견하였다. 페트로프 분류(Petrov classification)의 D형에 속한다. 더 일반적인 커-뉴먼 계량의 전하를 띠지 않는 경우다.

커 블랙홀의 사건의 지평선의 바깥쪽에는 회전의 영향으로 인해 작용권이라는 공간이 형성된다. 작용권보다 먼 곳에 있는 관찰자의 시점에서 보면 작용권의 표면에서는 광자가 회전의 역방향으로 방사되어 한 점에 머무르는 것처럼 보이지만, 작용권의 안쪽에서 회전의 반대 방향으로 방사되는 광자는 회전의 순방향으로 끌려가는 것으로 보인다. 중심의 특이점은 고리 모양이다.

정의

편의상 $c=1$로 놓자. 질량이 $M=r_s/2G$, 각운동량이 $J=\alpha M$인 블랙홀의 계량은 다음과 같다.

$d\tau^{2} = \left( 1 - \frac{r_{s} r}{\rho^{2}} \right) dt^{2} - \frac{\rho^{2}}{\Delta} dr^{2} - \rho^{2} d\theta^{2} -\left( r^{2} + \alpha^{2} + \frac{r_{s} r \alpha^{2}}{\rho^{2}} \sin^{2} \theta \right) \sin^{2} \theta \, d\phi^{2} + \frac{2r_{s} r\alpha \sin^{2} \theta }{\rho^{2}} \,dt \, d\phi$

여기서 $r, \theta, \phi$는 구면좌표계, $t$는 시간, 그리고 나머지 기호는 다음과 같다.

$\rho^{2} = r^{2} + \alpha^{2} \cos^{2} \theta$

$\Delta = r^{2} - r_{s} r + \alpha^{2}$.

사건의 지평선과 작용권

커 블랙홀의 사건의 지평선은 다음과 같다.

$r_\text{hor} = \frac{r_{s} + \sqrt{r_{s}^{2} - 4\alpha^{2}}}{2}$

지평선 밖에는 작용권(영어: ergosphere)이라는 지역이 존재한다. 그 바깥 경계는 다음과 같다.

$r_\text{erg}(\theta) = \frac{r_{s} + \sqrt{r_{s}^{2} - 4\alpha^{2} \cos^{2}\theta}}{2}$

작용권 안의 입자는 블랙홀의 회전 방향을 따라서 회전하여야 한다. 그러나 작용권의 바깥 경계는 사건의 지평선이 아니며, 적절한 에너지를 주면 입자는 작용권에서 빠져나올 수 있다. 이 경우, 특수한 경우엔 입자가 탈출할 때 처음에 가졌던 에너지보다 더 많은 에너지를 지니고 탈출할 수 있다. 이를 이용하여 커 블랙홀로부터 에너지를 뽑을 수 있다.

$GM<J$이면 사건의 지평선은 존재하지 않고, 블랙홀은 노출 특이점이 된다. 이러한 경우는 실재하지 않는다고 추측한다.

참고 문헌

• (영어) Visser, Matt (2007년). The Kerr spacetime: A brief introduction. arXiv:0706.0622. Bibcode: 2007arXiv0706.0622V.
• (영어) Åman, Jan E., Ingemar Bengtsson, Helgi F. Rúnarsson (2012년 11월 7일). What are extremal Kerr Killing vectors up to?. 《Classical and Quantum Gravity》 29 (21): 5017. arXiv:1206.6306. doi:10.1088/0264-9381/29/21/215017. Bibcode: 2012arXiv1206.6306A. ISSN 0264-9381.

같이 보기

• 일반 상대성 이론
• 아인슈타인 방정식
• 블랙홀
• 슈바르츠실트 계량
• 슈바르츠실트 블랙홀
• 커 블랙홀
• 커-뉴먼 계량
• 대머리 정리
• 우주 검열관 가설
• 블랙홀 열역학