커 계량

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커 계량(Kerr計量, 영어: Kerr metric)은 회전하는 블랙홀을 나타내는, 아인슈타인 방정식의 해다. 더 일반적인 커-뉴먼 계량의 전하를 띠지 않는 경우다.

커 블랙홀사건 지평선의 바깥쪽에는 회전의 영향으로 인해 작용권이라는 공간이 형성된다. 작용권보다 먼 곳에 있는 관찰자의 시점에서 보면 작용권의 표면에서는 광자가 회전의 역방향으로 방사되어 한 점에 머무르는 것처럼 보이지만, 작용권의 안쪽에서 회전의 반대 방향으로 방사되는 광자는 회전의 순방향으로 끌려가는 것으로 보인다. 중심의 특이점은 고리 모양이다.

정의[편집]

편의상 c=1로 놓자. 질량M=r_\text{S}/2G, 각운동량J=\alpha M커 계량보이어-린드퀴스트 좌표계(영어: Boyer–Lindquist coordinates)에서 다음과 같다.


d\tau^{2} = -\left(1-\frac{r_\text{S}r}{\rho^2}\right) dt^2
+\frac{\rho^2}{\Delta} dr^2
+\rho^2 d\theta^2
+\left( r^2+\alpha^2+\frac{r_\text{S}r \alpha^2}{\rho^2}\sin^2\theta \right) \sin^2\theta \, d\phi^2
+ \frac{2r_\text{S}r\alpha\sin^2\theta }{\rho^2} \,dt \, d\phi

여기서 r, \theta, \phi구면좌표계, t는 시간, 그리고 나머지 기호는 다음과 같다.

\rho^{2} = r^2+\alpha^2\cos^2\theta
\Delta = r^2-r_\text{S} r+\alpha^2.

성질[편집]

커 계량은 대수적으로 특별하며, 페트로프 분류의 D형에 속한다. 커 계량은 두 개의 선형독립 킬링 벡터장을 가지며, 이는 보이어-린드퀴스트 좌표계에서 다음과 같다.

\frac\partial{\partial t}
\frac\partial{\partial\phi}

이들은 각각 시간 변화 및 블랙홀 회전축에 대한 회전을 나타낸다.

구조[편집]

커 계량은 밖부터 안으로 순서로, 다음과 같은 일련의 구조들을 가진다.

작용권과 틀 끌림[편집]

지평선 밖에는 작용권이라는 지역이 존재한다. 작용권의 안쪽 경계는 사건 지평선이며, 작용권의 바깥 경계는 다음과 같다.

r_\text{erg}(\theta) = \frac{r_\text{S} + \sqrt{r_\text{S}^2 - 4\alpha^2 \cos^2\theta}}2

작용권의 바깥 경계는

g_{tt}(r,\theta)=0

의 해로 얻어진다.

작용권 안의 입자는 블랙홀의 회전 방향을 따라서 회전하여야 한다. 이러한 효과를 틀 끌림이라고 한다. 그러나 작용권의 바깥 경계는 사건 지평선이 아니며, 적절한 에너지를 주면 입자는 작용권에서 빠져나올 수 있다. 이 경우, 특수한 경우엔 입자가 탈출할 때 처음에 가졌던 에너지보다 더 많은 에너지를 지니고 탈출할 수 있다. 이를 이용하여 커 블랙홀로부터 에너지를 뽑을 수 있으며, 이러한 과정을 펜로즈 과정(영어: Penrose process)이라고 한다.

사건 지평선[편집]

커 블랙홀의 사건 지평선은 다음과 같다.

r_\text{hor} = \frac{r_\text{S} + \sqrt{r_\text{S}^{2} - 4\alpha^2}}2

이는

g_{rr}=\infty

의 두 해 가운데 더 큰 값이다. (다른 해는 코시 지평선이다.)

사건 지평선은 블랙홀의 경계로 여겨진다. 사건 지평선을 통과하여 블랙홀 속으로 들어간 물체는 다시 블랙홀 밖으로 나올 수 없다.

커 계량에서 특이점 주위에 사건 지평선이 존재하려면

\frac{GM^2}c\ge J

이어야만 한다. 이 부등식이 포화되는 경우를 극대 블랙홀이라고 한다. 부등식이 성립하지 않는 경우 커 계량은 벌거숭이 특이점이 되고, 우주 검열 가설에 따라서 실재하지 않는다고 추측된다.

관측된 블랙홀들 가운데, GRS 1915+105는 극대 커 블랙홀에 가까운 것으로 추측된다.[1]

코시 지평선과 특이점[편집]

커 블랙홀의 코시 지평선은 다음과 같다.

r_\text{Cauchy} = \frac{r_\text{S} - \sqrt{r_\text{S}^{2} - 4\alpha^2}}2

이는

g_{rr}=\infty

의 두 해 가운데 더 작은 값이다. (다른 해는 사건 지평선이다.) 코시 지평선은 일반적으로 불안정하므로, 이는 실재 블랙홀에서는 존재하지 않을 것으로 추정된다. 코시 지평선 이내에는 초기 조건 문제가 더 이상 성립하지 못해, 추가 정보 없이는 그 이내에서 일어나는 현상들을 예측할 수 없다.

커 계량의 특이점

(r,\theta)=(0,\pi/2)
0\le\phi<2\pi

에 위치하며, 고리 모양이다.

고차원 커 계량[편집]

커 계량을 고차원으로 일반화하면, 마이어스-페리 계량(영어: Myers–Perry metric)이라는 계량들을 얻는다.[2]

역사[편집]

뉴질랜드의 수학자 로이 커가 1963년에 발견하였다.[3][4][5]

참고 문헌[편집]

  1. (영어) The Spin of the Near-Extreme Kerr Black Hole GRS 1915+105. 《The Astrophysical Journal》 652 (1): 518–539. arXiv:astro-ph/0606076. doi:10.1086/508457. Bibcode2006ApJ...652..518M.
  2. (영어) Myers, Robert C. (2012년). 〈Myers-Perry black holes〉, 《Black holes in higher dimensions》. Cambridge University Press, 101–133쪽. arXiv:1111.1903. doi:10.1017/CBO9781139004176.006. Bibcode2011arXiv1111.1903M. ISBN 978-110701345-2
  3. (영어) Kerr, R.P. (1963년 9월 1일). Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special matrices. 《Physical Review Letters》 11: 237–238. doi:10.1103/PhysRevLett.11.237. Zbl 0112.21904.
  4. (영어) Lindley, David (2014년 2월 21일). Focus: Landmarks—The curved space around a spinning black hole. 《Physics》 7: 18. doi:10.1103/Physics.7.18.
  5. (영어) Kerr, Roy P. (2009년 2월). 〈Discovering the Kerr and Kerr-Schild metrics〉, 《The Kerr spacetime: rotating black holes in general relativity》. Cambridge University Press. arXiv:0706.1109. Bibcode2007arXiv0706.1109K. ISBN 978-052188512-6

바깥 고리[편집]

  • (영어) Kerr metric. 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer (2001).

같이 보기[편집]