슈바르츠실트 계량

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일반 상대성 이론에서, 슈바르츠실트 계량(Schwarzschild計量, 영어: Schwarzschild metric)은 구형 대칭이며 대전되거나 회전하지 않고, 정적인 질량 분포를 나타내는 아인슈타인 방정식의 해이다. 중심의 천체가 주변에 미치는 공간의 왜곡을 나타내므로, 일반 상대성 이론의 효과를 계산할 때 제일 근사치로서 천체 주위의 물체의 운동을 계산하는 등의 경우에 널리 응용된다.

역사[편집]

카를 슈바르츠실트가 1916년에 유도하였다.[1] 제1차 세계 대전 당시 슈바르츠실트는 출병 전에 일반 상대성 이론을 접한 뒤, 전쟁터에서 계산에 힘써 이 해를 도출해냈다. 그는 그 연구결과를 알베르트 아인슈타인에게 보내고 반년 뒤에 전사했다.

정의[편집]

편의상 c=1로 놓고, −+++… 계량 부호수를 사용하자. d>3차원 시공간에서, 슈바르츠실트 계량은 다음과 같다.[2]:11

ds^2=-\left(1-(r_0/r)^{d-3}\right)dt^2+\left(1-(r_0/r)^{d-3}\right)^{-1}dr^2+r^2d\Omega^2_{d-2}

여기서 r_0는 길이의 단위를 가지는, 사건 지평선의 위치를 나타내는 임의의 매개 변수이며, d\Omega_{d-2}^2는 반지름이 1인 d-2차원 초구 S^{d-2}의 부피 원소이다. 예를 들어, d=4인 경우, 이는 다음과 같은 구면 좌표계 넓이 원소이다.

d\Omega^2 = d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2

3차원 이하에서는 이와 같은, 사건 지평선을 갖는 슈바르츠실트 해가 존재하지 않는다. (다만, 음의 우주 상수의 경우 BTZ 블랙홀이라는 해가 존재한다.)

성질[편집]

질량과 열역학[편집]

슈바르츠실트 계량의 ADM 질량 M은 다음과 같다.[2]:11

M=\frac{(d-2)\operatorname{vol}(S^{d-2})r_0^{d-3}}{16\pi G}

여기서 Gd차원 중력 상수이며,

\operatorname{vol}(S^{d-2})=\frac{(d-1)\pi^{(d-1)/2}}{\Gamma((d+1)/2)}

d-2차원 초구의 부피이다. 예를 들어, 4차원의 경우

M=r_0/2G

이다.

윅 회전을 통해 계산하면, 임의의 차원에서 슈바르츠실트 블랙홀의 온도는 다음과 같다.

T=\frac{\hbar c}{4\pi k_{\text{B}}r_0}

다시 말해, 슈바르츠실트 블랙홀은 이 온도의 호킹 복사를 방출한다.

사건 지평선의 넓이가

A=\operatorname{vol}(S^{d-2})r_0^{d-2}

이므로, 슈바르츠실트 해의 엔트로피

S=A/4G

이다.

인과 구조[편집]

슈바르츠실트 계량은 점근적으로 평탄하다. 즉, 원점에서 매우 멀리 떨어진 곳에서는 민코프스키 공간에 근접한다. 슈바르츠실트 계량은 r=r_0에서 사건 지평선을 갖는다. 이를 슈바르츠실트 반지름이라고 한다. 이 점에서 계량 텐서가 발산하는 것처럼 보이지만, 지평선은 사실 좌표 특이점에 불과하며, 다른 좌표계를 사용해 지평선 내부가 존재함을 보일 수 있다.

버코프의 정리에서는 진공이면서 구면 대칭에서의 아인슈타인 방정식의 해는 슈바르츠실트 해에 한정된다.

슈바르츠실트-더 시터르 계량[편집]

양의 우주 상수 \Lambda=(d-1)(d-2)R^{-2}/2를 가진, d>3차원의 더 시터르 공간에서, 구형 대칭의 정적 비대전 계량은 슈바르츠실트-더 시터르 계량(Schwarzschild-de Sitter計量, 영어: Schwarzschild–de Sitter metric)이라고 하고, 다음과 같다.[3]

ds^2=-\left(1-(r_0/r)^{d-3}-r^2/R^2\right)dt^2+\left(1-(r_0/r)^{d-3}-r^2/R^2\right)^{-1}dr^2+r^2d\Omega_{d-2}^2

질량과 열역학[편집]

슈바르츠실트-더 시터르 계량의 질량은 다음과 같다.

M=\frac{(d-2)\operatorname{vol}(S^{d-2})r_0^{d-3}}{16\pi G}

이는 더 시터르 공간의 질량이 0이라고 가정한 것이다.

인과 구조[편집]

슈바르츠실트-더 시터르 계량은

1=(r_0/r)^{d-3}+r^2/R^2

인 곳에서 킬링 지평선(킬링 벡터 \partial/\partial t가 영벡터가 되는 점)을 가진다. 이 식은 일반적으로 두 개의 해를 가지는데, 안쪽의 것은 블랙홀의 지평선, 바깥쪽의 것은 더 시터르 공간의 우주론적 지평선(영어: cosmological horizon)이다. 이 두 지평선은 일반적으로 서로 다른 온도를 가지며, 따라서 서로 다른 온도의 호킹 복사를 방출한다.[4][5]

슈바르츠실트-반 더 시터르 계량[편집]

음의 우주 상수 \Lambda=-(d-1)(d-2)R^{-2}/2를 가진, d>2차원의 반 더 시터르 공간에서, 구형 대칭의 정적 비대전 계량은 슈바르츠실트-반 더 시터르 계량(Schwarzschild-反de Sitter計量, 영어: Schwarzschild–anti-de Sitter metric)이라고 하고, 다음과 같다.[2]:56

ds^2=-\left(1-(r_0/r)^{d-3}+r^2/R^2\right)dt^2+\left(1-(r_0/r)^{d-3}+r^2/R^2\right)^{-1}dr^2+r^2d\Omega_{d-2}^2

우주 상수가 없는 경우와 달리, 이 경우 3차원에서도 블랙홀이 존재한다. 이를 BTZ 블랙홀이라고 한다.

질량과 열역학[편집]

슈바르츠실트-반 더 시터르 계량의 질량은 다음과 같다.

M=\frac{(d-2)\operatorname{vol}(S^{d-2})r_0^{d-3}}{16\pi G}

이는 반 더 시터르 공간의 질량이 0이라고 가정한 것이다.

반 더 시터르 공간의 온도를 질량에 따른 함수 T(M)라고 하자. 이 함수는 어떤 M_0에 대하여, M\le M_0인 경우 감소하지만 M\ge M_0인 경우 증가한다. 즉, 같은 온도를 가지지만 서로 다른 에너지를 가진 두 블랙홀이 존재하며, 블랙홀의 최저 온도 T_\text{min}가 존재한다. 이 온도에서 블랙홀은 1차 상전이를 겪는다. 이를 호킹-페이지 전이(영어: Hawking–Page transition)라고 하며, 스티븐 호킹과 돈 페이지(영어: Don Page)가 발견하였다.[6] 이는 AdS/CFT 대응성을 통해, 대응하는 등각 장론의 상전이로 해석할 수 있다.

인과 구조[편집]

이 계량은

1-(r_0/r)^{d-3}+r^2/l^2=0

이 되는 r에서 사건 지평선을 갖는다.

일반화[편집]

슈바르츠실트 블랙홀에 전하를 띠게 한 해는 라이스너-노르드스트룀 계량이다. 현실에서의 중력 붕괴 현상으로 형성되는 블랙홀은 회전하는 블랙홀이 될 것으로 여겨진다. 회전하는 블랙홀에 대한 해는 커 계량이, 거기에 더해 전하를 띠는 경우에는 커-뉴먼 계량이 유일한 해이다.

참고 문헌[편집]

  1. (독일어) Schwarzschild, K. (1916년). Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie. 《Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften》 7: 189–196. Bibcode1916AbhKP......189S.
  2. (영어) Emparan, Roberto, Harvey S. Reall (2008년). Black Holes in Higher Dimensions. 《Living Reviews in Relativity》 11: 6. arXiv:0801.3471. doi:10.12942/lrr-2008-6. Bibcode2008LRR....11....6E.
  3. (영어) Spradlin, Marcus, Andrew Strominger, Anastasia Volovich (2001년). Les Houches lectures on De Sitter space. arXiv:hep-th/0110007. Bibcode2001hep.th...10007S.
  4. (영어) Gibbons, G. W., S. W. Hawking (1977년 5월 15일). Cosmological event horizons, thermodynamics, and particle creation. 《Physical Review D》 15: 2738. doi:10.1103/PhysRevD.15.2738. ISSN 1550-7998.
  5. (영어) Teitelboim, Claudio. Gravitational thermodynamics of Schwarzschild-de Sitter space. arXiv:hep-th/0203258. Bibcode2002hep.th....3258T.
  6. (영어) Hawking, S. W., Don N. Page (1982년). [1]. 《Communications in Mathematical Physics》 87 (4): 577–588. doi:10.1007/BF01208266. MR0691045.

같이 보기[편집]