슈바르츠실트 계량

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슈바르츠실트 계량(Schwarzschild metric) 또는 슈바르츠실트 해(Schwarzschild solution)는 일반 상대성 이론에서 아인슈타인 방정식(중력장 방정식)의 해 중 하나로, 카를 슈바르츠실트가 1916년에 도출해냈다. 구면 대칭이면서 진공상태인 시공간을 가정하여 얻은 아인슈타인 방정식의 가장 간단한 해다. 해는 일반적으로

ds^{2} = -c^2 \left( 1 - \frac{2GM}{c^2 r} \right) dt^2 + \left( 1 - \frac{2GM}{c^2 r} \right)^{-1} dr^2+ r^2 d\Omega^2

로 표현된다. 여기서 G중력 상수, M은 중력을 만드는 중심 물체의 질량을 나타내며,

d\Omega^2 = d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2

는 2차원 구면을 나타내는 계량 텐서다.

이 해는 중심의 천체가 주변에 미치는 공간의 왜곡을 나타내므로, 일반 상대성 이론의 효과를 계산할 때 제일 근사치로서 천체 주위의 물체의 운동을 계산하는 등의 경우에 널리 응용된다.

이 해는

r=0
r_{\rm s} = \frac{2GM}{c^2}

위의 두 점에서 특이성을 갖는다. 둘 중 rs슈바르츠실트 반지름이라고 하며 오랫동안 물리적인 해석은 되지 않았다.

슈바르츠실트 계량은 블랙홀의 존재를 예견한다. 큰 질량의 항성이 중력 붕괴된 이후 블랙홀이 형성되는 것으로 보이는데, 이 계량의 블랙홀 모델을 슈바르츠실트 블랙홀이라 말한다. 슈바르츠실트 반지름은 블랙홀의 사상의 지평선의 위치를 나타낸다.

또한 r=0은 특이점으로, 일반 상대성 이론을 포함한 모든 물리 법칙이 적용되지 않는 점이다. 이러한 특이점이 실제로 존재하더라도 그것이 블랙홀의 안쪽에 있다면, 블랙홀의 바깥에서의 물리 법칙의 적용에는 영향이 없다. 자세한 내용은 우주 검열관 가설을 참고.

버코프의 정리에서는 진공이면서 구면 대칭에서의 아인슈타인 방정식의 해는 슈바르츠실트 해에 한정된다.

슈바르츠실트 블랙홀에 전하를 띠게 한 해는 라이스너-노드스톰 계량이다. 현실에서의 중력 붕괴 현상으로 형성되는 블랙홀은 회전하는 블랙홀이 될 것으로 여겨진다. 회전하는 블랙홀에 대한 해는 커 계량이, 거기에 더해 전하를 띠는 경우에는 커-뉴먼 계량이 유일한 해로 알려져있다.

제1차 세계대전 당시 슈바르츠실트는 출병 전에 일반 상대성 이론을 접한 뒤, 전쟁터에서 계산에 힘써 이 해를 도출해냈다. 그는 그 연구결과를 알베르트 아인슈타인에게 보내고 반년 뒤에 전사했다.

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