프리드만 방정식

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물리우주론에서, 프리드만 방정식(Фридман方程式, 영어: Friedmann equation)은 등방적인 우주의 팽창과 수축을 나타내는 미분방정식이다. 러시아의 수학자 알렉산드르 프리드만의 이름을 딴 것이다.

정의[편집]

프리드만 방정식은 프리드만-로버트슨-워커 계량아인슈타인 방정식에 넣고 풀면 얻을 수 있다. 편의상 빛의 속력c=1로 놓자. 그렇다면 프리드만 방정식은 다음 두 방정식이다.

3\left((\dot a/a)^2+k/a^2\right)=8\pi G\rho+\Lambda
3\ddot a/a=-4\pi G(\rho+3p)+\Lambda

여기에서 \rho는 우주의 (에너지) 밀도, \Lambda우주 상수,a는 우주의 상대적인 크기를 결정하는 척도인자이다. k는 우주의 공간 곡률인데, 주어진 시점에서의 공간의 스칼라 곡률R=6k/a^2이다. (공간의 스칼라 곡률은 시공간의 스칼라 곡률과 다르다.) 통상적으로 k=-1,0,1로 놓는다.

프리드만 방정식은 우주의 밀도와 곡률이 주어졌을 때 우주의 진화를 기술한다.

허블 상수[편집]

척도인자의 시간에 따른 상대 변화율을 허블 상수 H(t)로 정의한다.

\dot a(t)/a(t)=H(t)

허블 상수는 이름과 달리 시간에 대한 함수이다. 허블 상수를 사용하여 프리드만 방정식을

3\left(H^2+k/a^2\right)=8\pi G\rho+\Lambda
3(\dot H+H^2)=-4\pi G(\rho+3p)+\Lambda

의 꼴로 놓을 수 있다.

에드윈 허블은 1927년 멀리 있는 은하일수록, 우리 은하와 더 빠른 속도로 멀어지며, 그 멀어지는 속도는 거리에 비례한다는 허블의 법칙을 발견하였다. 이를 수식으로 표현하면,

\vec{v} = H \vec{r}

이고, 여기에서 은하가 멀어지는 속도와 거리 사이의 비례상수 H가 바로 허블 상수다. 이는 균일하고(homogeneous), 등방적이며,(isotropic) 팽창하고 있는 우주에서 성립하는 일반적인 관계식으로써 다음과 같이 증명된다. 우주의 팽창을 따라가며 그 간격이 멀어지는 좌표계(comoving coordinate)에서 정의된 위치 벡터를 \vec{x}라고 하자. 좌표 \vec{x}_1과, \vec{x}_2에 위치한 두 은하를 생각하자. 시간 t 일 때 두 은하 사이의 거리는

\vec{r}(t)=a(t)(\vec{x}_1-\vec{x}_2)

로 주어지고, 은하가 멀어지는 속도는 이 거리의 미분으로 구할 수 있다.

\vec{v}(t)=\dot{a}(t)(\vec{x}_1-\vec{x}_2) =\frac{\dot{a}(t)}{a(t)}a(t)(\vec{x}_1-\vec{x}_2)=H(t)\vec{r}(t)

같이 보기[편집]