펜로즈 그림

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일반 상대성 이론에서, 펜로즈 그림(영어: Penrose diagram)은 시공간의 인과적 구조를 나타내는 도표이다. 시공간을 바일 변환을 통해 유한한 크기로 나타낸다. 바일 변환에 의하여 길이를 왜곡하지만, 인과적 구조(각도)는 왜곡하지 않는다.

펜로즈 그림의 예[편집]

민코프스키 공간[편집]

민코프스키 공간의 펜로즈 그림

d+1 차원 민코프스키 공간

ds^2=-dt^2+dr^2+r^2d\Omega^2_{d-1}

을 다음과 같은 좌표로 적자.

\tan(u+v)=r+t
\tan(u-v)=r-t
0\le u
-\pi/2+u<v<\pi/2-u

즉, (u,v)는 긴 변의 길이가 \pi직삼각형 구역 속에 속한다. 그렇다면 민코프스키 계량은 다음과 같다.

\cos^2(u+v)\cos^2(u-v)ds^2=-dv^2+du^2
+\frac14\sin^2(2u)d\Omega^2_{d-1}

즉, 계량에 \cos^2(u+v)\cos^2(u-v)를 곱하는 바일 변환을 가하면, 민코프스키 공간은 직삼각형 공간으로 콤팩트화해진다. 직삼각형의 각 점 (u,v)은 반지름이 \sin(2u)/2초구가 붙어 있다.

특히, d+1=2인 경우, 0차원 초구는 두 개의 점을 가지므로, 직삼각형을 펼쳐, 펜로즈 그림은 정사각 마름모꼴이 된다.

민코프스키 공간의 등각 무한대는 u+|v|=\pi/2인 점들이며, 두 초구뿔을 붙여 놓은 모양이다. 이는 다음과 같이 분류된다.

  • 공간 무한대: (u,v)=(\pi/2,0)에 붙어 있는 d-1차원 초구
  • 미래 무한대: (u,v)=(0,\pi/2)에 붙어 있는 점
  • 과거 무한대: (u,v)=(0,\pi/2)에 붙어 있는 점
  • 미래 영벡터 무한대: \{(u,v)|u+v=\pi/2\}에 붙어 있는 점들. 이는 밑이 초구 S^{d-1}인 초구뿔 모양이다.
  • 과거 영벡터 무한대: \{(u,v)|u-v=\pi/2\}에 붙어 있는 점들. 이는 밑이 초구 S^{d-1}인 초구뿔 모양이다.

더 시터르 공간[편집]

더 시터르 공간의 펜로즈 그림. 좌변은 공간의 북극, 우변은 공간의 남극을 나타낸다. 윗변은 무한 미래, 아랫변은 무한 과거를 나타낸다.

더 시터르 공간의 펜로즈 그림은 정사각형이다. 더 시터르 공간의 경우 위상학적으로 S^3\times\mathbb R이므로, 펜로즈 그림에서는 오른쪽 변과 왼쪽 변이 실제 공간에서 각각 하나의 점을 나타내게 된다. (그러나 무한한 미래와 과거를 나타내는 윗변과 아랫변은 그렇지 않다.)

반 더 시터르 공간[편집]

d+1차원 반 더 시터르 공간의 펜로즈 그림은 더 시터르 공간의 펜로즈 그림과 유사하지만, 윗변·아랫변이 한 점만을 포함하며 오른·왼변의 각 점은 초구 S^{d-1}를 나타낸다. 즉, 그 등각 경계는 S^{d-1}\times\mathbb R이며, 이는 원점을 제거한 민코프스키 공간 \mathbb R^d\setminus\{0\}바일 변환으로 동치이다.

  • 공간 무한대: S^{d-1}\times\mathbb R
  • 미래 무한대: 하나의 점
  • 과거 무한대: 하나의 점

블랙홀[편집]

커 블랙홀의 펜로즈 그림
점근적으로 민코프스키인 실재 블랙홀의 펜로즈 그림. 내부의 검은 대각선은 블랙홀의 사건 지평선이다. 블랙홀은 유한한 시간에서 호킹 복사를 통해 증발하여 없어진다 (붉은 물결선).

슈바르츠실트 계량이나 커 계량의 펜로즈 그림은 매우 복잡한 형상을 보인다. 이 경우, 블랙홀 밖의 실제 우주의 등각 무한대 말고도 블랙홀 내부의 반대편에 존재하는 화이트홀 등의 등각 확장이 존재한다.

실재하는 (즉, 어떤 유한한 과거에서 생성된) 블랙홀은 이러한 복잡한 구조를 갖지 않는다.

역사[편집]

브랜든 카터(Brandon Carter)[1]로저 펜로즈[2][3]가 1960년대에 도입하였다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Carter, Brandon (1966년). Complete Analytic Extension of the Symmetry Axis of Kerr's Solution of Einstein's Equations. 《Physical Review》 141 (4): 1242–1247. doi:10.1103/PhysRev.141.1242.
  2. (영어) Penrose, Roger (1964). 〈Conformal treatment of infinity〉, 《Relativity, Groups, and Topology (Les Houches 1963)》. Gordon and Breach, 563–584쪽 재출판 (영어) Penrose, Roger (2011년 3월). Republication of: Conformal treatment of infinity. 《General Relativity and Gravitation》 43 (3): 901–922. doi:10.1007/s10714-010-1110-5.
  3. (영어) Friedrich, Helmut (2011년 3월). Editorial note to: Roger Penrose, Conformal treatment of infinity. 《General Relativity and Gravitation》 43 (3): 897–900. doi:10.1007/s10714-010-1109-y.

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]

  • (영어) Distler, Jacques (2009년 6월 17일). Penrose diagram follies. 《Musings: Thoughts on Science, Computing, and Life on Earth》.