펜로즈 그림

일반 상대성 이론에서, 펜로즈 그림(Penrose diagram)은 시공간의 인과적 구조를 나타내는 도표이다. 시공간을 등각 변환을 통해 유한한 크기로 나타낸다. 등각변환에 의하여 길이를 왜곡하지만, 인과적 구조(각도)는 왜곡하지 않는다.

펜로즈 그림의 예

민코프스키 공간

민코프스키 공간의 펜로즈 그림

민코프스키 공간의 펜로즈 그림은 마름모꼴이다. 이는 다음과 같은 등각 좌표 변환을 적용한 것이다.

$\tan(u\pm v)=x\pm t$.

여기서 $(x,t)$는 통상적인 (평탄한) 좌표이고, $(u,v)$는 펜로즈 그림의 직교좌표이다.

드 지터 공간과 반 드 지터 공간

드 지터 공간의 펜로즈 그림. 좌변은 공간의 북극, 우변은 공간의 남극을 나타낸다. 윗변은 무한 미래, 아랫변은 무한 과거를 나타낸다.

드 지터 공간과 반 드 지터 공간의 펜로즈 그림은 정사각형이다. 드 지터 공간의 경우 위상학적으로 $S^3\times\mathbb R$이므로, 펜로즈 그림에서는 오른쪽 변과 왼쪽 변이 실제 공간에서 각각 하나의 점을 나타내게 된다. (그러나 무한한 미래와 과거를 나타내는 윗변과 아랫변은 그렇지 않다.) 반 드 지터 공간의 경우 그 등각 경계(conformal infinity)는 민코프스키 공간이다. 반 드 지터 공간의 펜로즈 그림의 오른쪽 및 왼쪽 변은 이 등각 경계를 나타낸다. (물론 4차원 반 드 지터 공간의 경우 이 경계는 사실 $S^2\times\mathbb R$의 꼴이다.)

블랙홀

커 블랙홀의 펜로즈 그림

역사

브랜든 카터(Brandon Carter)와 로저 펜로즈가 1960년대에 도입하였다.

같이 보기

• 인과관계
• 바일 변환