아인슈타인 방정식

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색
아인슈타인 방정식을 나타내는 1979년 스위스 5프랑 기념 주화. 물질과 우주 상수가 없을 경우의 아인슈타인 방정식 R_{\mu\nu}=0(리치 곡률이 0)이 새겨져 있다.
장방정식
스핀 0 클라인-고든 방정식
스핀 ½ 디랙 방정식 · 바일 방정식 · 마요라나 방정식
스핀 1 맥스웰 방정식 · 프로카 방정식
스핀 1½ 라리타-슈윙거 방정식
스핀 2 아인슈타인 방정식
v  d  e  h

아인슈타인 방정식(Einstein方程式, 독일어: Einsteingleichungen, 영어: Einstein equations)은 일반 상대성 이론을 기술하는 열 개의 연립 비선형 편미분방정식이다. 알베르트 아인슈타인[1]다비트 힐베르트[2]1915년에 도입하였다. 이에 따르면, 시공곡률을 나타내는 아인슈타인 텐서물질이 발생시키는 에너지-운동량 텐서에 비례한다.

아인슈타인 방정식은 텐서 방정식이다. 그 좌변은 아인슈타인 텐서로, 이는 리치 곡률 텐서로부터 계산할 수 있다. 그 우변은 에너지-운동량 텐서로, (중력을 제외한) 물질의 에너지운동량의 밀도를 나타낸다. 따라서, 특정한 물질의 배치로부터 시공간의 왜곡을 계산할 수 있다. 그러나 에너지-운동량 텐서와 아인슈타인 텐서의 계산에 모두 계량 텐서가 필요하므로, 아인슈타인 방정식은 연립 비선형 편미분방정식이 된다. 좌변과 우변은 각각 4×4 대칭 텐서이므로, 총 10개의 방정식이 있으나, 미분동형사상 불변성을 써서 4개의 방정식을 없앨 수 있다. 즉 6개의 연립 비선형 편미분방정식만이 남는다. 이는 일반적으로는 해석적으로 풀 수 없고, 특정한 가설 풀이를 잡아 풀거나 아니면 수치해석적으로 근사적 해를 구한다.

아인슈타인 방정식에 우주 상수를 나타내는 항을 추가할 수 있다. 이는 계량 텐서에만 의존하나, 마치 에너지-운동량 텐서와 같이 행동한다.

정의[편집]

미스너, 손, 휠러 저(著) 교재의 부호를 따르자. 즉, 계량 부호수는 −+++이고, 리만 곡률 텐서

{R^\mu}_{a \beta \gamma} = \Gamma^\mu_{a \gamma,\beta}-\Gamma^\mu_{a \beta,\gamma}+\Gamma^\mu_{\sigma \beta}\Gamma^\sigma_{\gamma a}-\Gamma^\mu_{\sigma \gamma}\Gamma^\sigma_{\beta a}

이다. 리치 텐서

R_{\mu\nu}={R^\rho}_{\mu\rho\nu}

다. 이제, 아인슈타인 텐서

G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac12g_{\mu\nu}

를 정의할 수 있다. 아인슈타인 텐서는 에너지-운동량 텐서와 마찬가지로 항상 공변보존된다. 즉

\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0

이다.

일반 상대성 이론에서, 에너지-운동량 텐서는 중력을 제외한 나머지 물질의 작용으로부터 다음과 같이 정의한다.

T_{\mu\nu}=-2\frac1{\sqrt{-\det g_{\alpha\beta}}}\frac{\delta}{\delta g^{\mu\nu}}\left(\mathcal L_\text{matter}\sqrt{-\det g_{\alpha\beta}}\right)
=-2\frac{\delta}{\delta g^{\mu\nu}}\mathcal L_\text{matter}+g_{\mu\nu}\mathcal L_\text{matter}.

여기서 \mathcal L_\text{matter}는 물질의 라그랑지안 밀도다. 이 에너지-운동량 텐서는 자동적으로 대칭적이며, 뇌터 정리에서 유도되는 에너지-운동량 텐서와는 조금 다르다. (뇌터 에너지-운동량은 일반적으로 대칭적이지 않다.)

이제, 아인슈타인 방정식은 다음과 같다.

G_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}-\Lambda g_{\mu\nu}.

여기서 G중력 상수로서, 아인슈타인 텐서와는 관련이 없다. c는 진공에서의 빛의 속도, T_{\mu\nu}에너지-운동량 텐서다. \Lambda우주 상수다.

변분법적 유도[편집]

아인슈타인 방정식은 작용으로부터 변분법적으로 유도할 수 있다. 이 작용을 힐베르트 작용(영어: Hilbert action)이라고 부르며, 다음과 같다. (편의상 c=1로 놓자.)

S_\text{GR}=\frac1{16\pi G}\int d^4x\;\sqrt{-g}\left(R-2\Lambda+\mathcal L_\text{matter}\right).

시공이 경계가 없는 경우에는 이를 변분하여 아인슈타인 방정식을 얻는다. (시공이 경계가 있는 경우에는 기번스-호킹-요크 경계항(Gibbons-Hawking-York境界項, 영어: Gibbons–Hawking–York boundary term)을 힐베르트 작용에 더하여야 한다.)

다른 형식[편집]

아인슈타인 방정식

R_{\mu\nu}-\frac12g_{\mu\nu}R=8\pi GT_{\mu\nu}-g_{\mu\nu}\Lambda

대각합을 취하면

(1-D/2)R=8\pi GT-D\Lambda

이다. 여기서 D시공간의 차원이다. 따라서 아인슈타인 방정식을 다음과 같이 동등한 형태로 쓸 수 있다.

R_{\mu\nu}=8\pi G\left(T_{\mu\nu}-\frac1{D-2}g_{\mu\nu}T\right)+\frac 2{D-2}g_{\mu\nu}\Lambda

참고자료[편집]

  1. Einstein, Albert (1915년). Die Feldgleichungun der Gravitation. 《Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin》: 844-847. 2006년 9월 12일에 확인.
  2. Hilbert, David (1915년). Die Grundlagen der Physik. 《Konigl. Gesell. d. Wiss. Göttingen, Nachr. Math.-Phys. Kl.》: 395-407.