라이스너-노르드스트룀 계량

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라이스너-노르드스트룀 계량(영어: Reissner–Nordström metric, RN)은 구면대칭이고, 전하를 띠는 아인슈타인 방정식의 해다.

정의[편집]

편의상 c=1로 놓자. 라이스너-노르드스트룀 계량은 다음과 같다.

ds^2=-\left(1-\frac{2GM}{r}+\frac{GQ^2}{4\pi\epsilon_0r^2}\right)dt^2 +\left(1-\frac{2GM}{r}+\frac{GQ^2}{4\pi\epsilon_0r^2}\right)^{-1} dr^2 +r^2 d\Omega^2
A_t=\frac Q{4\pi\epsilon_0r}

여기서

d\Omega^2 = d\theta^2 +\sin^2\theta\,d\phi^2

이고, M은 블랙홀의 질량, Q는 블랙홀의 전하이다. 전하가 0일 경우 RN 계량은 슈바르츠실트 계량이 된다.

성질[편집]

RN 계량에서는 두 개의 지평선이 존재한다. 좌표로 쓰면

r_\pm = GM \pm \sqrt{G^2M^2-GQ^2/4\pi\epsilon_0}

이다. 겉의 것은 사건 지평선이고, 안의 것은 코시 지평선이다. 전하가

|Q|=\sqrt{4\pi\epsilon_0 G}M

일 때, 두 개의 지평선은 겹친다. 이 경우를 극대 블랙홀이라 한다. 이는

|Q|/M=\sqrt{4\pi\epsilon_0G}=24.3\;\mathrm{pC/kg}=152\,e/\mathrm{mg}

일 경우이다.

|Q| > \sqrt{4\pi\epsilon_0 G}M이면 시공간에 벌거숭이 특이점이 발생한다. 로저 펜로즈우주 검열 가설에 따르면, 이러한 블랙홀은 자연계에 존재하지 않는 것으로 여겨진다.

고차원 라이스너-노르드스트룀 계량[편집]

편의상 1=c=\epsilon_0=8\pi G로 놓자. 임의의 d>3차원의 민코프스키 공간 속에서 라이스너-노르드스트룀 계량이 존재한다. 그 계량은 다음과 같다.[1]:265

ds^2=-H(r)^{-2}W(r)dt^2+H^{2/(d-3)}\left(W(r)^{-1}dr^2+r^2d\Omega^2_{(d-2)}\right)
A_0(r)=\alpha(H^{-1}(r)-1)
H(r)=1-\frac{\omega}{\left(1-\frac{d-3}{2(d-2)\alpha^2}\right)r^{d-3}}
W(r)=1-\omega/r^{d-3}

여기서 상수 h, \alpha, \omega는 블랙홀의 질량 M 및 전하 Q와 다음과 같은 관계를 갖는다.

\alpha=\frac1{(d-3)\operatorname{vol}(S^{d-2})}\frac{Q}{(d-2)\operatorname{vol}(S^{d-2})M+\omega/2}
\omega=\frac1{(d-2)\operatorname{vol}(S^{d-2})}\sqrt{M^2-\frac{d-2}{d-3}Q^2}

여기서

\operatorname{vol}(S^{d-2})=\frac{(d+1)\pi^{(d+1)/2}}{\Gamma((d+3)/2)}

d-2차원 단위 초구의 넓이다.

고차원 라이스터-노르드스트룀 해의 사건 지평선

r=\sqrt[d-3]{\omega}

에 위치한다. 벌거숭이 특이점이 아닐 조건은 다음과 같다.[1]:(8.228)

|Q|/M\le\sqrt{8\pi G\epsilon_0\cdot\frac{d-3}{d-2}}

역사[편집]

슈바르츠실트 계량이 발견된 직후에 독일의 항공우주공학자 한스 야코프 라이스너(독일어: Hans Jacob Reissner)와 핀란드의 물리학자 군나르 노르드스트룀이 발견하였다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Ortín, Tomás. 《Gravity and Strings》. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511616563. ISBN 9780521824750

같이 보기[편집]