호킹 복사

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물리학에서, 호킹 복사(Hawking輻射, 영어: Hawking radiation) 또는 베켄슈타인-호킹 복사(Bekenstein-Hawking radiation)는 양자역학적 효과로 인해 블랙홀이 방출하는 열복사다.

단순하게 설명하자면, 불확정성의 원리에 따라서 진공에서도 양자요동이 일어나며, 그로 인해 블랙홀의 사상의 지평선 근처에서 입자와 반입자의 쌍생성이 일어난다. 그 때 발생한 두 입자 중 반입자가 블랙홀의 사상의 지평선을 향해 떨어지고, 입자는 외부로 방출된다. 블랙홀로 떨어진 반입자는 블랙홀 내부의 입자와 충돌하여 쌍소멸하여, 에너지를 방출하며 질량이 감소하게 된다. 이 때 블랙홀 밖으로 방출된 입자의 방사선이 호킹 복사다.

호킹 복사가 일어날 경우 이 과정에서 블랙홀이 질량을 잃게 되므로, 흡수하는 질량보다 잃는 질량이 많은 블랙홀은 점점 줄어들다가 결국 사라질 것으로 예상된다. 이론에 따르면, 블랙홀은 작으면 작을수록 더 많은 열복사를 방출한다.

호킹 복사는 양자 중력 이론을 향한 중요한 첫걸음으로 여겨진다. 그러나 호킹 복사가 실제로 존재하는지의 여부는 논란이 있다.[1]

역사[편집]

1973년에 이스라엘의 물리학자인 야코브 베켄슈타인 (Jacob D. Bekenstein)이 블랙홀 열역학을 제창하면서 블랙홀이 특정한 온도를 가지고, 이에 따라 복사한다고 제안하였다.[2] 1974년영국물리학자 스티븐 호킹이 굽은 공간의 양자장론을 사용하여 블랙홀 복사의 존재를 증명하였다.[3][4]

블랙홀은 물질이 엄청나게 강한 중력에 의해 끌어당겨지는 장소로, 고전적으로는 전자기적 복사도 빠져나올 수 없는 공간으로 여겨졌다. (즉, 빛이 빠져나올 수 없기 때문에 '검은 구멍'이라는 뜻으로 '블랙홀'이라 불린다.) 현 시점에서 중력을 양자역학적으로 기술하는 이론은 개발되지 않았으나, 블랙홀에서 멀리 떨어진 곳에서는 비교적 중력이 약하므로 굽은 시공간의 양자장론을 적용하여 어느 정도 합리적인 근사값을 계산할 수 있다. 호킹은 양자 효과로 인해 블랙홀이 그 질량반비례하는 온도를 가진 흑체와 같은 양의 흑체 복사를 방출함을 증명했다.

정의[편집]

표면 중력\kappa킬링 지평선을 가진, 정적인(stationary) 블랙홀은 온도

T=\frac{\hbar\kappa}{2 \pi k_Bc}

흑체 복사를 방출한다. 여기서 k_B볼츠만 상수, \hbar디랙 상수, c빛의 속력이다. 즉, 블랙홀이 온도 T의 흑체라고 가정할 수 있다. 이 복사를 호킹 복사라고 하고, 이 온도를 호킹 온도(Hawking temperature)라고 한다.

이 공식은 언루 효과의 공식에서 고유 가속도 a표면 중력 \kappa로 치환하여 일반화한 것이다.

편의상 c=k_B=\hbar=4\pi\epsilon_0=G=1로 놓자. 질량 M, 전하 Q, 각운동량 \alpha M을 가진 커-뉴먼 계량의 호킹 온도는 다음과 같다.

T=\frac1{2\pi}\frac{r_+-r_-}{2(r_+^2+\alpha^2)}

여기서

r_\pm=M\pm\sqrt{M^2-Q^2-\alpha^2}

는 커-뉴먼 블랙홀의 두 지평선들의 위치다.

슈바르츠실트 계량의 경우 Q=\alpha=0이므로,

T=\frac1{4\pi r}=\frac1{8\pi M}

이다. 극대 블랙홀(extremal black hole)의 경우 Q^2+\alpha^2=M^2이므로, r_+=r_-=M이고, 따라서 T=0이다. 즉, 극대 블랙홀은 호킹 복사를 하지 않아 증발하지 않는다.

유도[편집]

호킹 효과는 언루 효과로부터 비교적 간단히 유도할 수 있다.[5] 편의상 가장 간단한 슈바르츠실트 계량의 블랙홀을 생각하자. (유사한 계산을 다른 종류의 블랙홀에 대하여서도 할 수 있다.) 편의상  c = \hbar = k_\text{B} = 1 로 놓자.

질량 M의 슈바르츠실트 블랙홀의 슈바르츠실트 반지름r_*=2GM이다. 따라서, 블랙홀 사건 지평선 근처에서의 곡률은 약 1/GM 정도이다.

슈바르츠실트 블랙홀의 적색 편이 인자(redshift factor) V는 다음과 같다.

V(r)=\sqrt{1-r_*/r}.

(r은 슈바르츠실트 좌표) 이에 따라서, 블랙홀 중심에서 슈바르츠실트 좌표 r>r_*만큼 떨어져 있는 관찰자는 고유 가속도

a(r)=\frac{dV}{dr}=\frac{r_*}{2r\sqrt{r-r_*}}

자유 낙하한다. 따라서, 관찰자가 지평선에 매우 가까우면 (0<r-r_*\ll r_*) 블랙홀의 곡률은 무시하고, 자유 낙하에 의한 효과만을 고려할 수 있다.

언루 효과에 의하여, r에서 자유 낙하하는 관찰자는 온도

T_*(r)=a(r)/2\pi=\frac{r_*}{2r^2V(r)}

흑체 복사를 관찰한다. 이 복사는 블랙홀을 탈출하면서 V(r)만큼의 적색 편이를 겪는다. 따라서, 블랙홀에서 멀리 떨어진 관찰자는 온도

T=V(r)T_*(r)=\frac{r_*}{4\pi r^2}

의 흑체 복사를 관찰하게 된다. 블랙홀 사건 지평선에서 방출되는 에너지를 다루려면 r=r_*로 놓자. 그렇다면

T=\frac1{4\pi r_*}=\frac1{8\pi GM}=\frac{\hbar c^3}{8\pi Gk_\text{B}M}

가 된다. 이 온도를 호킹 온도(Hawking temperature)라고 한다. 즉, 블랙홀은 이 온도의 흑체 복사를 방출한다.

윅 회전을 통한 계산[편집]

호킹 온도는 윅 회전(Wick rotation)을 통해 간단히 계산할 수 있다.[6]:659

  1. 시간 좌표를 허수 시간 \tau=it로 치환한다. 이렇게 하면 유클리드 계량 부호수계량 텐서를 얻는다.
  2. 이렇게 하면, 일반적으로 블랙홀의 사건 지평면은 뿔(cone) 모양의 특이점을 갖게 된다. 이러한 특이점은 시간 좌표를 주기 \beta를 가지는 좌표 \tau\sim\tau+\hbar\beta로 놓아 해소할 수 있다.
  3. 이 경우, 블랙홀의 호킹 온도는 T=k_\text{B}/\beta이다.

예를 들어, 슈바르츠실트 블랙홀의 호킹 온도를 계산하자. (편의상 c=\hbar=k_\text{B}=1로 놓는다.) 그 계량은

ds^2=-(1-R/r)dt^2+(1-R/r)^{-1}dr^2+r^2d\Omega^2

이다. 여기서 사건 지평선r=R=2GM에 있다. 윅 회전을 가하여 \tau=it로 치환하면

ds^2=(1-R/r)d\tau^2+(1-R/r)^{-1}dr^2+r^2d\Omega^2

이다. 이제 다음과 같은 변수 \rho,\theta를 정의하자.

\rho=2R\sqrt{1-R/r}
\theta=\tau/2R

그러면

ds^2=\rho^2d\theta^2+(1-\rho^2/4R^2)^{-4}d\rho^2+R^2(1-\rho^2/4R^2)^{-2}d\Omega^2

을 얻는다. 사건 지평선\rho=0에 있다. 따라서 지평선 근처 \rho\ll1에서 계량은

ds^2=\rho^2d\theta^2+d\rho^2+R^2d\Omega^2

의 꼴이다. 여기서

\rho^2d\theta^2+d\rho^2

극좌표계의 계량

r^2d\theta^2+dr^2

와 같은 꼴이다. 즉, (\theta,\rho) 평면이 \rho=0에서 원뿔 모양의 특이점을 갖지 않으려면 \theta가 각도의 값을 가진 좌표, 즉 2\pi를 주기로 하는 좌표이어야 한다.

\tau=2R\theta

이므로 허수 시간 \tau=it

\beta=4\pi R

의 주기를 갖는다. 따라서 슈바르츠실트 블랙홀의 호킹 온도는

T=1/\beta=1/(4\pi R)=1/(8\pi GM)

이다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Heifer, Adam D. (2003년 6월). Do black holes radiate?. 《Reports on Progress in Physics》 66 (6): 943–1008. arXiv:gr-qc/0304042. doi:10.1088/0034-4885/66/6/202. Bibcode2003RPPh...66..943H. ISSN 0034-4885.
  2. Bekenstein, Jacob D. (1973년 4월 15일). Black holes and entropy. 《Physical Review D》 7 (8): 2333–2346. doi:10.1103/PhysRevD.7.2333. Bibcode1973PhRvD...7.2333B.
  3. Hawking, S.W. (1974년 3월 1일). Black hole explosions?. 《Nature》 248: 30–31. doi:10.1038/248030a0. Bibcode1974Natur.248...30H. ISSN 0028-0836.
  4. Hawking, S.W. (1975년 8월). Particle creation by black holes. 《Communications in Mathematical Physics》 43 (3): 199–220. doi:10.1007/BF02345020. Bibcode1975CMaPh..43..199H. ISSN 0010-3616.
  5. Carroll, Sean M. (2003년). 《Spacetime and geometry: an introduction to general relativity》. Addison-Wesley, 412–421쪽. ISBN 0805387323
  6. (영어) Becker, Katrin, Melanie Becker, John H. Schwarz (2006년 12월). 《String Theory and M-Theory: A Modern Introduction》. Cambridge University Press. doi:10.2277/0511254865. Bibcode2007stmt.book.....B. ISBN 978-0511254864

같이 보기[편집]