프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량

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우주론에서, 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량(영어: Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker metric) 또는 FLRW 계량(영어: FLRW metric)은 팽창하거나 축소하는 등방(isotropic) 균등(homogeneous) 우주를 나타내는 계량 텐서이며, 시간에 대한 함수인 척도인자로 나타내어진다. 이 계량이 아인슈타인 방정식을 만족시키려면, 척도인자가 프리드만 방정식의 해여야 한다.

정의[편집]

d+1차원 FLRW 계량은 다음과 같다.

ds^2=-dt^2+a(t)^2
\left(\frac{dr^2}{1-kr^2}+d\Omega_d^2\right)

여기서 a(t)척도인자라고 불리는, 양의 실수 값을 가지는 시간에 대한 함수다. 척도인자는 주어진 시간에서 FLRW 우주의 상대적인 크기를 나타낸다. t(물리적) 시간이다. k는 공간의 곡률을 나타내는 상수이며, k\in\{-1,0,+1\}로 규격화할 수 있다. k=+1은 양의 곡률을 가진 우주, k=-1은 음의 곡률을 갖는 우주, k=0은 평탄한 우주다. (이는 공간만의 곡률을 나타낸다. 척도인자가 상수가 아니라면, 시공간은 항상 곡률을 가진다.)

d\Omega_d^2(d-1)차원 초구 위 계량이며, d=3일 때 다음과 같다.

d\Omega_2^2=d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2

등각 시간(영어: conformal time) \tau는 다음과 같다.

\tau(t)=\int^t_{t_0}\frac{dt'}{a(t')}

여기서 t_0는 임의의 상수다. 등각 시간을 사용하면 FLRW 계량은 다음과 같다.

ds^2=a(\tau)^2\left(-d\tau^2+\frac{dr^2}{1-kr^2}+d\Omega_d^2\right)

만약 k=0이라면, 이는 민코프스키 계량 -d\tau^2+\sum_{i=1}^d(dx^i)^2등각변환한 것으로 볼 수 있다.

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최대 대칭 공간[편집]

최대 대칭 공간(maximally symmetric space)인 민코프스키 공간, 더 시터르 공간 공간, 반 더 시터르 공간 공간은 FLRW 공간의 특수한 경우다. 민코프스키 공간의 경우, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

반지름이 R더 시터르 공간 공간의 경우, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

반지름이 R반 더 시터르 공간 공간의 경우, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

ΛCDM 모형[편집]

ΛCDM 모형은 우리가 살고 있는 우주를 k=0인 FLRW 계량으로 나타낸다. 현재 (2013년), ΛCDM 모형에서 우주의 곡률에 의한 효과는 측정할 수 없을 정도로 작다.

역사와 어원[편집]

알렉산드르 프리드만, 조르주 르메트르, 하워드 퍼시 로버트슨(영어: Howard Percy Robertson), 아서 제프리 워커(영어: Arthur Geoffrey Walker)의 이름을 땄다. 르메트르의 업적은 널리 알려지지 않았으므로, 간혹 르메트르의 이름이 생략된 프리드만-로버트슨-워커 계량 또는 FRW 계량으로 불리기도 한다.

참고 문헌[편집]

  1. Milne, Edward Arthur (1935년). 《Relativity, Gravitation and World-Structure》. Oxford: Clarendon Press. Bibcode1935QB500.M5.......