편미분방정식

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편미분 방정식(偏微分方程式, 영어: partial differential equation, 약자 PDE)은 수학에서 여러 개의 독립 변수로 구성된 함수와 그 함수의 편미분으로 연관된 방정식이다. 각각의 변수들의 상관관계를 고려하지 않고 변화량을 보고 싶을 때 이용할 수 있으며, 상미분 방정식에 비해 응용범위가 훨씬 크다. 소리의 전파 과정, 전자기학, 유체역학, 양자역학 등 수많은 역학계에 관련된 예가 많다.

정의[편집]

MN이 매끈한 미분다양체라고 하자. 편미분 방정식은 다음과 같은 꼴의 미분 방정식이다.

F(x,u,\nabla_iu,\nabla_i\nabla_ju,\dots,\nabla_{i_1}\cdots\nabla_{i_k}u)=0
x\in M,\;u\colon M\to N

여기서 미분 연산자의 최고 차수 k를 편미분 방정식의 차수(영어: order)라고 하며, 이러한 꼴의 편미분 방정식을 k차 편미분 방정식이라고 한다. 만약 다양체 N이 2차원 이상이라면 이를 연립 편미분 방정식이라고 하며, 만약 N이 1차원이라면 비연립 편미분 방정식이라고 한다.

분류[편집]

1차 편미분 방정식[편집]

1차 편미분 방정식은 대체로 특성곡선법을 사용하여 풀 수 있다. 매끈한 미분다양체 M 위의 일반적인 (비연립) 1차 편미분 방정식은 다음과 같은 꼴이다.

F(x,u,\partial u/\partial x)=0\qquad(x\in M,\;u(x)\in\mathbb R)

여기서 u_{x_i}=\partial u/\partial x_i이다. 이 경우, 임의의 해 u(s)=u(x^i(s))는 다음과 같은 상미분 방정식을 만족시킨다.

\frac{\dot x_i}{\partial F/\partial(\partial u/\partial x_i)}=-\frac1{\partial F/\partial x_i+(\partial u/\partial x^i)\partial F/\partial u}\dot p^i=\frac{\dot u}{\sum_ip_i(\partial F/\partial p_i)}

따라서, 이 상미분 방정식을 풀어서 편미분 방정식의 해들을 찾을 수 있다.

2차 편미분 방정식[편집]

매끈한 미분다양체 M 위의 일반적인 (비연립) 2차 편미분 방정식은 일반적으로 다음과 같은 꼴이다.

Q(\nabla_i\nabla_ju,x)+F(\nabla_iu,u,x)=0\qquad(x\in M,\;u(x)\in\mathbb R)

따라서, Q\colon M\to\operatorname{Sym}^2TMM의 각 점에 실수 이차형식을 정의한다. 이는 이차형식의 고윳값들의 부호에 따라서 분류할 수 있다. 구체적으로, 어떤 주어진 점 x\in M에서

  • 만약 Q_x의 모든 고윳값들이 양수라면, 이 2차 편미분 방정식이 타원형 편미분 방정식(영어: elliptic partial differential equation)이라고 한다.
  • 만약 Q_x의 모든 고윳값들이 음이 아닌 실수이며, 0인 고윳값이 존재한다면, 이 2차 편미분 방정식이 포물형 편미분 방정식(영어: parabolic partial differential equation)이라고 한다.
  • 만약 Q_x가 음의 고윳값을 갖는다면, 이 2차 편미분 방정식이 쌍곡형 편미분 방정식(영어: hyperbolic partial differential equation)이라고 한다.

타원형·포물형·쌍곡형 방정식들은 각각 현저히 다른 현상을 보인다.

선형 편미분 방정식[편집]

매끈한 미분다양체 M에서 벡터공간 V로 가는 함수 u\colon M\to V에 대한 선형 편미분 방정식은 다음과 같은 꼴이다.

c_0(x)u(x)+c_1^i(x)\nabla_iu(x)+c_2^{ij}(x)\nabla_i\nabla_ju(x)+\cdots+c_k^{i_1\cdots i_k}(x)\nabla_{i_1}\cdots\nabla_{i_k}u(x)=0

이는 M 위의, V값을 갖는 매끈한 함수들의 벡터공간 \mathcal C^\infty(M,V) 위에 정의된 선형작용소고윳값 방정식이다. 즉, 이 경우 해 u(x)는 선형작용소

T=c_0(x)+c_1^i(x)\nabla_i+\cdots+c_k^{i_1\cdots i_k}(x)\nabla_{i_1}\cdots\nabla_{i_k}

에 대하여 고윳값이 0인 고유벡터를 이룬다. 이 경우, 함수해석학작용소 이론을 적용할 수 있다.

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참고 문헌[편집]

  • Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics》, 8판, John Wiley & Sons. ISBN 0-471-15496-2
  • Andrei D. Polyanin, William E. Schiesser, Alexei I. Zhurov. Partial differential equation. 《Scholarpedia》 3 (10): 4605. doi:10.4249/scholarpedia.4605.

바깥 고리[편집]