지연미분방정식

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수학에서, 지연미분방정식(delay differential equations, DDEs)은 특정한 시간에서의 미지의 함수의 도함수가 이전의 함숫값들의 항들로 나타내어지는 미분 방정식의 일종이다.

x(t)\in \mathbb{R}^n에 대한 시간-지연방정식에 대한 일반적인 형태는 다음과 같다.

\frac{\rm d}{{\rm d}t}x(t)=f(t,x(t),x_t)

이때 x_t=\{x(\tau):\tau\leq t\}는 이전의 해의 자취를 나타낸다. 이 방정식에서, f\mathbb{R}\times \mathbb{R}^n\times C^1에서 \mathbb{R}^n\,로의 함수 연산자이다.

지연미분방정식의 예[편집]

  • 연속지연
\frac{\rm d}{{\rm d}t}x(t)=f\left(t,x(t),\int_{-\infty}^0x(t+\tau)\,{\rm d}\mu(\tau)\right)
  • 이산지연
\frac{\rm d}{{\rm d}t}x(t)=f(t,x(t),x(t-\tau_1),\dotsc,x(t-\tau_m)) for \tau_1>\dotsb>\tau_m\geq 0.
  • 이산선형지연
\frac{\rm d}{{\rm d}t}x(t)=A_0x(t)+A_1x(t-\tau_1)+\dotsb+A_mx(t-\tau_m)
단, A_0,\dotsc,A_m\in \mathbb{R}^{n\times n}.
\frac{\rm d}{{\rm d}t}x(t) = ax(t) + bx(\lambda t),
이때 a, b, λ는 상수이고 0 < λ < 1이다. 이 방정식과 좀 더 일반화된 형태는 기차의 팬터그래프의 이름을 따서 지어졌다.

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