전신 방정식

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전신 방정식(電信方程式, telegraph equation)은 송신선전류전압을 다루는 2차 편미분 방정식이다.

역사[편집]

1887년에 당시 전보 기사였던 올리버 헤비사이드가 도입하였다.[1]

전개[편집]

편의상 A'=\partial A/\partial x, \dot A=\partial A/\partial t로 표기하자.

단위 길이당 전신선 모형 회로도

매우 가는 균일한 전신선이 단위 길이당 전기 저항 R과 단위 길이당 인덕턴스 L을 가진다고 하자. 또한, 전신선에서 전류가 단위 길이당 전도율 G과 단위 길이당 전기 용량 C를 통해 (병렬로) 샌다고 하자.

전신선 위의 전압] V(x,t)전류 I(x,t)는 다음과 같은 연립 1차 편미분 방정식을 따른다.

V'=-RI-L\dot I
I'=-GV-C\dot V.

두 편미분 방정식 가운데 하나를 다른 하나에 대입하면 다음과 같이 하나의 2차 편미분 방정식을 얻는다.

V''=GRV+(GL+CR)\dot V+LC\ddot V.
I''=GRI+(GL+CR)\dot I+LC\ddot I.

이를 전신 방정식이라고 한다.

전파의 속도[편집]

편의상 전력 손실을 무시하자. 즉, R=0, G=0으로 놓자. 그렇다면 전신 방정식은 다음과 같이 파동 방정식이 된다.

V''=LC\ddot V.
I''=LC\ddot I.

이 방정식의 일반해는

V(x,t)=\int V_0(\omega)\exp\left(i\omega(\sqrt{LC}x-t)\right)\,d\omega

이다. 따라서, 전신선을 통해 전달되는 신호의 속도는 1/\sqrt{LC}임을 알 수 있다.

참고 문헌[편집]

  1. Heaviside, Oliver (1894). 〈On the Self-Induction of Wires Part VIII: The Transmission of Electromagnetic Waves along Wires without Distortion〉, 《Electrical Papers》. New York: McMillan and Co., 307쪽