전신 방정식

전신 방정식(電信方程式, telegraph equation)은 송신선의 전류와 전압을 다루는 2차 편미분 방정식이다.

역사

1887년에 당시 전보 기사였던 올리버 헤비사이드가 도입하였다.

전개

편의상 $A'=\partial A/\partial x$, $\dot A=\partial A/\partial t$로 표기하자.

단위 길이당 전신선 모형 회로도

매우 가는 균일한 전신선이 단위 길이당 전기 저항 $R$과 단위 길이당 인덕턴스 $L$을 가진다고 하자. 또한, 전신선에서 전류가 단위 길이당 전도율 $G$과 단위 길이당 전기 용량 $C$를 통해 (병렬로) 샌다고 하자.

전신선 위의 전압] $V(x,t)$과 전류 $I(x,t)$는 다음과 같은 연립 1차 편미분 방정식을 따른다.

$V'=-RI-L\dot I$

$I'=-GV-C\dot V$.

두 편미분 방정식 가운데 하나를 다른 하나에 대입하면 다음과 같이 하나의 2차 편미분 방정식을 얻는다.

$V''=GRV+(GL+CR)\dot V+LC\ddot V$.

$I''=GRI+(GL+CR)\dot I+LC\ddot I$.

이를 전신 방정식이라고 한다.

전파의 속도

편의상 전력 손실을 무시하자. 즉, $R=0$, $G=0$으로 놓자. 그렇다면 전신 방정식은 다음과 같이 파동 방정식이 된다.

$V''=LC\ddot V$.

$I''=LC\ddot I$.

이 방정식의 일반해는

$V(x,t)=\int V_0(\omega)\exp\left(i\omega(\sqrt{LC}x-t)\right)\,d\omega$

이다. 따라서, 전신선을 통해 전달되는 신호의 속도는 $1/\sqrt{LC}$임을 알 수 있다.

참고 문헌

• Polyanin, Andrei D. (2004). 〈§2.7 Telegraph Equation〉, 《EqWorld: The World of Mathematical Equations》