랴푸노프 안정성

동역학계을 표현하는 미분 방정식의 해의 안정성에는 다양한 형태가 있다. 가장 중요한 형태는 어떤 평형점 주변의 해에 관한 것이다. 이는 랴푸노프 이론으로 고려할 수 있다. 간단히 말해, 만일 임의의 평형점 $x_e$ 부근에서 시작하는 해당 동적 시스템의 모든 해가 영원히 $x_e$ 주변에 머무른다면, $x_e$는 랴푸노프 안정하다 라고 말한다. 더 나아가, 만일 $x_e$ 가 랴푸노프 안정이고, $x_e$ 부근에서 시작하는 모든 해가 $x_e$ 로 수렴한다면, $x_e$는 점근적으로 안정하다. 지수적으로 안정하다면, 최소 감소율, 즉, 얼마나 빨리 해가 수렴할지에 대한 추정치가 보증된다. 랴푸노프 안정성 개념은 무한 차원 매니폴드로도 확장될 수 있는데, 이는 구조적 안정성으로 알려져 있으며, 미분방정식의 다르지만 "가까이 있는" 해의 거동에 관한 것이다. 입력->상태 안정성은 랴푸노프 개념을 입력이 있는 시스템에 적용하는 것이다.

역사

랴푸노프 안정성은 알렉산드르 랴푸노프의 이름을 딴 것이다. 그는 러시아의 수학자 가운데 한사람으로서, "움직임의 안정성에 관한 일반 문제"라는 책을 1892년 출판하였다. 랴푸노프프는 최초로 비선형 시스템을 어떤 평형점 부근에서 선형화하는 것에 기반하는 안정성의 선형 이론을 고려하였다. 그의 저작은 최초에는 러시아어로 출판되었고, 그 후 프랑스어로 번역되었는데, 오랫동안 주목을 받지 못하였다. 그에 관한 관심은 냉전 시절에 갑자기 시작되었는데, 이를 소위 "랴푸노프 제 2 방법" 이 항공우주 유도 시스템의 안정성에 적용 가능하다는 것을 알게된 때이다. 이러한 시스템은 보통 심한 비선형성을 포함하고 있어 다른 방법으로는 다룰 수 없다. 다수의 연구논문이 그 때 그리고 그 이후 제어와 시스템 문헌에 출현하였다. 더욱 최근에는 랴푸노프 지수 (랴푸노프의 제 1 방법에 관련) 가 혼돈 이론과의 관련성으로 너른 관심을 받았다.

연속 시간 시스템을 위한 정의

다음과 같은 자율 비선형 동적 시스템을 고려할 수 있다.

$\dot{x} = f(x(t)), \;\;\;\; x(0) = x_0$

여기서 $x(t) \in \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R}^n$ 는 시스템 상태 벡터, $\mathcal{D}$ 는 원점을 포함 하는 열린 집합, 그리고 $f: \mathcal{D} \rightarrow \mathbb{R}^n$ 는 $\mathcal{D}$ 상에서 연속이다. $f$ 는 평형점 $x_e$ 를 갖는다고 가정한다.

1. 만일 모든 $\epsilon > 0$ 가 다음을 만족시키는 $\delta = \delta(\epsilon) > 0$, 즉, 모든 $t \geq 0$에서 $\|x(0)-x_e\| < \delta$ 이면 $\|x(t)-x_e\| < \epsilon$ 가 되는 $\delta$를 가진다면 위 시스템의 해당 평형점은 랴푸노프 안정이다.
2. 해당 평형점이 랴푸노프 안정이고 $\|x(0)-x_e \|< \delta$ 이면 $\lim_{t \rightarrow \infty} \|x(t)-x_e\| = 0$ 인 $\delta > 0$ 가 존재하면 점근적 안정이다.
3. 위 시스템의 해당 평형점이 점근적으로 안정이고 $\|x(0)-x_e\| < \delta$ 이면 $\|x(t)-x_e\| \leq \alpha\|x(0)-x_e\|e^{-\beta t}$ 인 $\alpha, \beta, \delta >0$ 가 $t \geq 0$ 에 관하여 존재하면 지수적으로 안정 이다.

개념적으로 위 수식의 의미는 다음과 같다:

1. 어떤 평형점이 랴푸노프 안정이라면 해당 평형점에 "충분히 가까이" ($\delta$ 이내의 거리에서) 시작된 해들은 영원히 "충분히 가까이" ($\epsilon$ 이내의 거리에) 머문다. 중요한 것은, 모든 $\epsilon$에 대해 이 명제가 참이라는 것이다.
2. 점근적 안정이라면, 충분히 가까이 시작된 해는 충분히 가까이 머물 뿐 아니라 결국 해당 평형점으로 수렴한다.
3. 지수적 안정이라면, 해가 수렴할 뿐 아니라, 실은 최소한 어떤 알려진 비율 보다 더 빨리 수렴한다.