나비에-스토크스 방정식

밀레니엄 문제
P-NP 문제 호지 추측 푸앵카레 추측 (해결됨) 리만 가설 양-밀스 질량 간극 가설 나비에-스토크스 방정식 버츠와 스위너톤-다이어 추측

나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes equations) 또는 NS방정식은 점성을 가진 유체의 운동을 기술하는 비선형 편미분 방정식이다. 클로드 루이 나비에와 조지 가브리엘 스토크스가 처음 소개하였다.

활용

날씨 모델, 해류, 관에서 유체흐름, 날개주변의 유체흐름 그리고 은하안에서 별들의 움직임을 설명하는데 쓰일 수 있으며 실제로 항공기나 자동차 설계, 혈관내의 혈류, 오염물질의 확산등을 연구하는데 사용되고 있다.

나비에-스토크스 문제

이 방정식이 광범위하게 사용되고 있지만 이 방정식의 3차원 해가 항상 존재한다는 것을 증명하지 못했다. 이것을 Navier–Stokes existence and smoothness 문제라 한다. 클레이 수학연구소에서는 이 문제와 함께 7개의 문제를 해결하는데 US$1,000,000의 상금을 내 걸었다.

공식

나비에-스토크스 방정식은 여러 형태로 쓰이지만, 다음은 아인슈타인 컨벤션을 사용해 쓴 것이다.

$\frac{ \partial u_i }{ \partial t } + u_j \frac{ \partial u_i }{ \partial x_j } = f_i -\frac{ 1 }{ \rho } \frac{ \partial p }{ \partial x_i } + \nu \frac{ \partial^2 u_i }{ \partial x_j \partial x_j }$

식에서 각 기호는 그 시각, 지점에서의

u: 속도 f: 단위체적당 걸리는 외력 ρ: 밀도 p: 압력 ν: 점성계수 이다.

위식을 벡터를 이용하여,

$\frac{ \partial \boldsymbol{u} }{ \partial t } + ( \boldsymbol{u} \cdot \nabla )\boldsymbol{u} = \boldsymbol{f} -\frac{ 1 }{ \rho } \nabla p + \nu \triangle \boldsymbol{u}$

로 쓸 수도 있다.

방정식은 뉴턴의 운동방정식(가속도 = 힘/질량)에 기반하고 있으며, 좌변이 가속도, 우변이 유체에 작용하는 단위 질량당 힘을 나타내고 있다.