델 (연산자)

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나블라 기호
사용하여 표시하는
델 연산자

델 연산자벡터 미적분학에서 많이 쓰이는 연산자로써 나블라 기호로 표현하며 함수발산이나 회전등을 나타내는데 사용된다. 어떤 함수 y=f\left( x\right)미분할 때 미분을 하나의 과정으로 볼 수 있지만 하나의 연산, 즉 y\frac{d}{dx}라는 연산자를 사용하여 연산하는 방법으로 바라볼 수도 있다. 델 연산자는 미분 연산자와 마찬가지로 그래디언트를 하나의 연산자로 바라본 것이다.

수학적 정의[편집]

3차원 공간 \mathbb{R}^3에서 델 연산자\nabla =\mathbf{i}\frac{\partial}{\partial x}+\mathbf{j}\frac{\partial}{\partial y}+\mathbf{k}\frac{\partial}{\partial z}로 정의 된다. 비슷한 방식으로 n차원 공간에서의 델 연산자는 다음과 같이 정의된다.

\nabla =\sum_{i=1}^{n}\mathbf{e}_i\frac{\partial}{\partial x_i}

여기서 \mathbf{e}_i는 i번째 좌표만 1이고 나머지는 0으로 채워진 n차원의 표준기저를 의미한다.

그래디언트[편집]

델 연산자를 어떤 함수 f:A\sub\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}에 적용시키자.

\nabla f=\left(\mathbf{i}\frac{\partial}{\partial x}+\mathbf{j}\frac{\partial}{\partial y}+\mathbf{k}\frac{\partial}{\partial z}\right) f=\mathbf{i}\frac{\partial f}{\partial x}+\mathbf{j}\frac{\partial f}{\partial y}+\mathbf{k}\frac{\partial f}{\partial z}

이는 그래디언트의 정의와 같다. 3차원이 아닌 공간에서도 비슷한 방식으로 n차원 델 연산자를 이용하여 정의된다.

발산[편집]

어떤 벡터장 \mathbf{F}:A\sub\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3발산 또는 다이버전스델 연산자와의 스칼라곱으로 정의된다.

\operatorname{div}\mathbf{F}=\nabla\cdot\mathbf{F}=\left(\mathbf{i}\frac{\partial}{\partial x}+\mathbf{j}\frac{\partial}{\partial y}+\mathbf{k}\frac{\partial}{\partial z}\right)\cdot\left( F_1\mathbf{i}+F_2\mathbf{j}+F_3\mathbf{k}\right) =\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}

여기서 F_1,~F_2,~F_3벡터장 \mathbf{F}의 성분 스칼라장들이다. 3차원이 아닌 공간에서도 비슷한 방식으로 n차원 델 연산자와 n차원 벡터장스칼라곱으로 정의된다.

회전[편집]

어떤 벡터장 \mathbf{F}:A\sub\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3회전 또는 돌개델 연산자와의 벡터곱으로 정의된다.

\operatorname{curl}\mathbf{F}=\nabla\times\mathbf{F}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\F_1&F_2&F_3\end{vmatrix}=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}\right)\mathbf{i}+\left(\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}\right)\mathbf{j}+\left(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right)\mathbf{k}

여기서 F_1,~F_2,~F_3벡터장 \mathbf{F}의 성분 스칼라장들이며 회전연산자의 결과 \operatorname{curl}F 또는 \nabla\times F는 같은 차원의 벡터장이다. 3차원이 아닌 공간에서는 정의되지 않지만 2차원 평면에서는 \mathbf{k}성분이 없는 3차원 벡터로 놓고 계산하는 경우도 있다.

라플라시안[편집]

라플라시안또는 라플라스 연산자 \nabla^2그래디언트발산 (벡터)로 정의된다.

\nabla^2f=\nabla\cdot\left(\nabla f\right) =\left(\mathbf{i}\frac{\partial}{\partial x}+\mathbf{j}\frac{\partial}{\partial y}+\mathbf{k}\frac{\partial}{\partial z}\right)\cdot\left(\mathbf{i}\frac{\partial f}{\partial x}+\mathbf{j}\frac{\partial f}{\partial y}+\mathbf{k}\frac{\partial f}{\partial z}\right) =\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2f}{\partial z^2}

3차원이 아닌 공간에서도 비슷한 방식으로 n차원 그래디언트의 n차원 발산으로 정의된다.

관련된 여러 성질들[편집]

c는 상수이고 함수 f,~g,~\mathbf{F},~\mathbf{G}는 다음과 같이 정의된다. f:A\sub\mathbb{R}^3\to\mathbb{R},~g:B\sub\mathbb{R}^3\to\mathbb{R},~\mathbf{F}:C\sub\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,~\mathbf{G}:D\sub\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3

  1. \nabla\left( f+g\right) =\nabla f+\nabla g
  2. \nabla\left( cf\right) =c\nabla f
  3. \nabla\left( fg\right) =f\nabla g+g\nabla f
  4. g\left(\mathbf{x}\right)\ne 0\mathbf{x}에 대해서 \nabla\left(\frac{f}{g}\right) =\frac{g\nabla f-f\nabla g}{g^2}
  5. \nabla\cdot\left(\mathbf{F}+\mathbf{G}\right) =\nabla\cdot\mathbf{F}+\nabla\cdot\mathbf{G}
  6. \nabla\cdot\left( c\mathbf{F}\right) =c\nabla\cdot\mathbf{F}
  7. \nabla\cdot\left( f\mathbf{F}\right) =f\nabla\cdot\mathbf{F}+\mathbf{F}\cdot\nabla f
  8. \nabla\cdot\left(\nabla f\right) =0
  9. \nabla\cdot\left(\nabla f\times\nabla g\right) =0
  10. \nabla\times\left(\mathbf{F}+\mathbf{G}\right) =\nabla\times\mathbf{F}+\nabla\times\mathbf{G}
  11. \nabla\times\left( c\mathbf{F}\right) =c\nabla\times\mathbf{F}
  12. \nabla\times\left( f\mathbf{F}\right) =f\nabla\times\mathbf{F}+\nabla f\times\mathbf{F}
  13. \nabla\times\nabla f=\mathbf{0}
  14. \nabla\cdot\nabla\times\mathbf{F}=0
  15. \nabla^2\left( fg\right) =f\nabla^2g+2\left(\nabla f\cdot\nabla g\right) +g\nabla^2f
  16. \nabla\cdot\left( f\nabla g-g\nabla f\right) =f\nabla^2g-g\nabla^2f

1번과 2번 성질에 의하여 그래디언트가, 5번과 6번 성질에 의하여 발산이, 10번과 11번 성질에 의하여 회전선형변환임을 알 수 있다.

역사[편집]

델 연산자윌리엄 로언 해밀턴사원수를 연구하면서 생각해낸 개념으로 그는 \nabla =\frac{\partial}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial}{\partial z}\mathbf{k}로 정의하였다. 만약 3차원 공간의 스칼라장 f와 곱하면 f그래디언트를 얻을 수 있고 3차원 벡터장과 사원수 곱을 하면 스칼라 성분은 발산의 음수, 벡터성분은 회전이다.(\nabla\mathbf{V}=-\nabla\cdot\mathbf{V}+\nabla\times\mathbf{V}, 여기서 \nabla\mathbf{V}그래디언트가 아니라 단순히 델과 V의 곱이다.) 그는 이러한 개념들에서 물리적 의미를 찾을 수는 없었지만 중요한 물리적 의미가 있을 것이라고 예상하고 있었다.

델 연산자와 발산, 회전의 물리적 의미를 처음으로 발견한 사람은 제임스 클러크 맥스웰이다. 맥스웰은 그의 논문 <<전기와 자기에 관한 논문>>에서는 발산회전을 각각 그 당시 많이 사용되던 단어인 컨버전스(convergence)와 로테이션(rotation)이라 이름 붙이고 전기장자기장 사이의 상호작용을 설명하였다. 그는 발산의 물리적 의미를 가우스의 발산정리를 이용하여 설명하였으나 회전의 경우 깊은 물리적 의미를 찾지는 못하였다.

지금의 이름인 ‘발산(영어: divergence)’과 ‘회전(영어: curl)’을 붙인 것은 조사이어 윌러드 기브스이다. 그는 맥스웰보다 발산회전의 훨씬 더 근본적인 물리적 의미를 찾아냈다. 그가 찾아낸 발산의 의미는 공간에서 유체의 속도벡터와 공간 상의 어느 한 점에서 유체가 빠져나가는 속도를 잇는 연산자였고, 회전의 의미는 어떤 강체 각 지점의 속도 벡터와 강체의 각속도를 연결짓는 연산자였다. 하지만 그는 회전의 더욱 깊은 의미를 찾는 데에는 실패하였고, 그 의미는 아직까지도 명확하지 않다.

참고 문헌[편집]

Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba (2003). 《Vector Calculus(Fifth Edition)》. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4992-0

바깥 고리[편집]