비선형

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계, 변환 등이 비선형이라는 것은 그 구성요소의 합이나 곱 등 선형 결합으로 설명할 수 없다는 것을 뜻한다.

비선형 방정식의 예[편집]

비선형 방정식 중에는 다음과 같은 친숙한 것들도 있다.

\displaystyle x^2 - 1 =0

또, 많은 다항식은 비선형 방정식이다. 그러나 연립 비선형 방정식은 훨씬 복잡하다. 게다가 다음과 같은 1차 상미분방정식

\displaystyle d_x u  = u^2

은 그 해를 구하는 방법이 널리 알려져 있다. (변수 분리) 그러나

d_x^2 u + g(u)=0 , 여기서 \displaystyle g 은 비선형 함수

와 같은 고차 비선형 방정식을 푸는 것은 일반적으로 매우 어렵다. 비선형 편미분 방정식의 해는 더욱 구하기가 어렵다. 물론 해의 존재, 해의 안정성, 동역학에 대한 정리가 증명되어 있기도 하다.

단진자의 움직임을 기술하는 다음 비선형 미분 방정식을 보자.

{d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell} \sin\theta=0 \quad\quad\quad

일반적으로 이 방정식은 \displaystyle \theta가 매우 작다는 가정을 하여 \displaystyle \sin\theta \approx \theta로 놓아 아래 선형 방정식으로 바꾸어 해를 구한다.

{d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell} \theta=0 \quad\quad\quad

그러나 \theta가 큰 범위를 진동한다면 진자의 비선형성은 진자의 움직임에 훨씬 크게 기여한다. 이 비선형 방정식에 의한 진자의 움직임은 위상 평면, 타원적분 등의 방법을 이용하여 분석한다.

같이 보기[편집]