열 방정식

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색
열 방정식의 해. 시간에 따라 열이 전도되면서 온도 분포가 점차 균일해지는 것을 볼 수 있다.

물리학수학에서, 열 방정식(熱方程式, heat equation)은 따위의 성질이 시간에 따라 전도되는 과정을 나타내는 2차 편미분 방정식이다. 뿐만 아니라 기체의 분산이나 브라운 운동, 금융학의 블랙-숄즈 방정식(Black–Scholes equation)을 다룰 때도 쓰인다.

정의[편집]

n차원 유클리드 공간에서 실함수 u(t,\mathbf x)\colon\mathbb R\times\mathbb R^n\to\mathbb R가 온도 분포를 나타낸다고 하자. 만약 열이 열전도율 D를 따라 전도된다면 u는 다음과 같은 2차 편미분 방정식을 만족한다.

\dot u=D\nabla^2u.

여기서 \nabla^2n차원 공간에서의 라플라스 연산자다. 이 편미분 방정식을 열 방정식이라고 한다.

보다 일반적으로, n차원 리만 다양체 위에서의 열 방정식을 정의할 수 있다. 이 때는 \nabla^2라플라스-벨트라미 연산자가 된다.

그린 함수[편집]

열 방정식은 그린 함수를 통해 풀 수 있다. 열 방정식의 그린 함수열핵(熱核, 영어: heat kernel)이라고 불리며, 다음과 같다.

G(t,\mathbf x)=\frac1{(4\pi Dt)^{n/2}}\exp(-\mathbf x^2/4kt).

이 함수는 다음과 같은 성질을 만족한다.

G(0,\mathbf x)=\delta^{(n)}(\mathbf x)
\dot G=D\nabla^2G.

여기서 \delta^{(n)}n차원 디랙 델타 함수다. 따라서 그린 함수를 사용하여 열 방정식의 초기 조건 문제를 풀 수 있다.

바깥 고리[편집]