미정계수법

미정계수법(Method of Undetermined Coefficients)는 비제차 상미분 방정식을 푸는 방법으로서, 상수계수를 갖는 선형상미분방정식의 풀이에 적합하다. 비제차 선형 상미분 방정식은 다음과 같이 표현될 수 있다.

$y^{\left( n \right)}+a_{n-1}y^{\left( n-1 \right)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=r\left( x \right)$

위의 식은

$y\left( x \right)=y_{h}\left( x \right)+y_{p}\left( x \right)$

와 같은 일반해를 갖게 되는데, 미정계수법은 $y_{p}\left( x \right)$를 구하는 방법이다.

풀이방법은 다음과 같다.

1. 비제차 상미분 방정식의 $r\left( x \right)$를 배제하고, 제차방정식이라 생각하고 그 식의 일반해 $y_{h}\left( x \right)$를 구한다.

2. 우항의 $r\left( x \right)$를 미정계수법 표에서 찾아 적당한 것을 택해 $y_{p}\left( x \right)$ 를 구한다.

$r\left( x \right)$의 항	$y_{p}\left( x \right)$에 대한 선택
$\begin{align} & ke^{rx} \\ & kx^{n}\left( n=0,1,\cdots \right) \\ & k\cos \omega x \\ & k\sin \omega x \\ & ke^{ax}\cos \omega x \\ & ke^{ax}\sin \omega x \\ \end{align}$	$\begin{align} & Ce^{rx} \\ & K_{n}x^{n}+K_{n-1}x^{n-1}+\cdots +K_{1}x+K_{0} \\ & \left. \begin{matrix} {} \\ {} \\ \end{matrix} \right\}K\cos \omega x+M\sin \omega x \\ & \left. \begin{matrix} {} \\ {} \\ \end{matrix} \right\}e^{ax}\left( K\cos \omega x+M\sin \omega x \right) \\ \end{align}$

미정계수법에 대한 선택 규칙

(a)기본규칙

$r\left( x \right)$를 위에서 찾고, 그에 해당되는 $y_{p}\left( x \right)$를 선택하고, 그 도함수를 비제차 방정식에 대입하여 미정계수를 구한다.

(b)변형규칙

(b-1 이계 비제차 선형 상미분 방정식인 경우)

만약 $y_{p}\left( x \right)$가 제차상미분방정식의 해가 된다면, 선택된 $y_{p}$에 $x$혹은 $x^{2}$를 곱한다.

(b-2 고계 비제차 선형 상미분 방정식인 경우)

만약 $y_{p}\left( x \right)$로 선택한 항이 제차 상미분 방정식의 해라면, $y_{p}\left( x \right)$에 $x^{k}$를 곱하는데, 여기서 $k$는 $x^{k}y_{p}\left( x \right)$가 제차 방정식의 해가 아닌 가장 작은 양의 정수이다.

(c)합규칙

만약 $r\left( x \right)$가 여러가지의 합일 때는 각각에 대응하는 함수들의 합으로 $y_{p}$를 선택한다.

참고 도서

Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics 8th ed.》. John Wiley & Sons, INC.. ISBN 0-471-15496-2