런던 방정식

런던 방정식(London equations)은 초전도체 주위와 내부에 흐르는 전류와 전자기장과 관련된 방정식으로 1935년 프리츠와 하인즈 런던(Fritz and Heinz London) 형제가 제안하였다. 초전도 현상 중 하나인 마이스너 효과를 다룰 때 등장한다.

이론

런던 방정식은 아래와 같은 두 개의 방정식으로 이루어져 있다.

$\frac{\partial \mathbf{j}_s}{\partial t} = \frac{n_s e^2}{m}\mathbf{E}.$

$\nabla \times \mathbf{j}_s = - \frac{n_s e^2}{mc}\mathbf{B}.$

여기서 $\mathbf{j}_s$는 초전도 전류, $\mathbf{E}$와 $\mathbf{B}$는 초전도체 내부의 전기장과 자기장, $e$는 전자와 양성자의 전하, $m$은 전자의 질량, $n_s$는 대전 입자의 밀도(number density)와 관계된 상수이다. (여기서는 CGS 단위계를 쓰자.)

런던 방정식은 벡터 퍼텐셜의 무발산 조건인 런던 게이지 조건 아래에서 다음과 같은 하나의 벡터 퍼텐셜로 나타낼 수 있다.

$\mathbf{j}_s = - \frac{n_s e^2}{mc}\mathbf{A}.$

런던 투과 깊이

두 번째 런던 방정식과 앙페르 회로 법칙을 이용하면 다음과 같은 방정식을 얻을 수 있다.

$\nabla \times \mathbf{B} = \frac{4\pi\mathbf{j}}{c},$ (앙페르 회로 법칙, CGS 단위계)

$\nabla ^2 \mathbf{B} = \frac{1}{\lambda ^2}\mathbf{B},$ $\lambda = \sqrt{\frac{mc^2}{4\pi n_s e^2}}$.

여기서 $\lambda$는 외부 자기장이 지수함수적으로 감소하는 길이 척도를 나타내는 값으로서 런던 투과 깊이라고 한다. 초전도체의 런던 투과 깊이는 보통 50 ~ 500 nm 정도다.

런던 투과 깊이의 간단한 예로서 초전도체와 진공의 평평한 경계면에서 진공에 자기장이 초전도체 경계면의 z 방향과 평행한 방향으로 일정한 값을 가지고 걸려있는 상태를 생각할 수 있다. 만일 x가 경계면과 평행하다면 초전도체 내부에서 x축 방향으로 x만큼 들어갔을때 z 방향의 자기장은 다음과 같이 주어진다.

$B_z(x) = B_0e^{-x/\lambda}.$

이와 같이 런던 방정식을 풀면 자기장이 초전도체 내부에서 지수함수적으로 감소하는 결과를 얻는다. 이는 초전도체 내부의 자기장을 밀어내는 마이스너 효과와 일맥상통하는 부분이다.

같이 보기

• 초전도 현상
• 마이스너 효과