적분 변환

적분 변환(Integral transform)은 다음과 같은 형태로 표현할 수 있는 변환 $T$를 말한다.

$(Tf)(u) = \int_{t_1}^{t_2} K(t, u)\, f(t)\, dt$

여기에서 $T$의 입력은 함수 $f$이며, 출력은 다른 함수 $Tf$가 된다. 이때 사용되는 함수 $K(t, u)$를 핵함수(kernel function)이라고 부른다.

일부 핵함수의 경우는 그와 연관되는 $K^{-1}(u, t)$가 존재하여, $f(t) = \int_{u_1}^{u_2} K^{-1}(u, t) (Tf)(u) du$과 같은 역변환이 가능하게 된다.

적분 변환 표

적분 변환 목록

변환	기호	$K$	t1	t2	$K^{-1}$	u1	u2
푸리에 변환	$\mathcal{F}$	$\frac{e^{-iut}}{\sqrt{2 \pi}}$	$-\infty\,$	$\infty\,$	$\frac{e^{+iut}}{\sqrt{2 \pi}}$	$-\infty\,$	$\infty\,$
하틀리 변환	$\mathcal{H}$	$\frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}}$	$-\infty\,$	$\infty\,$	$\frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}}$	$-\infty\,$	$\infty\,$
멜린 변환	$\mathcal{M}$	$t^{u-1}\,$	$0\,$	$\infty\,$	$\frac{t^{-u}}{2\pi i}\,$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
양측 라플라스 변환	$\mathcal{B}$	$e^{-ut}\,$	$-\infty\,$	$\infty\,$	$\frac{e^{+ut}}{2\pi i}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
라플라스 변환	$\mathcal{L}$	$e^{-ut}\,$	$0\,$	$\infty\,$	$\frac{e^{+ut}}{2\pi i}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
바이어슈트라스 변환	$\mathcal{W}$	$\frac{e^{-(u-t)^2/4}}{\sqrt{4\pi}}\,$	$-\infty\,$	$\infty\,$	$\frac{e^{+(u-t)^2/4}}{i\sqrt{4\pi}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
한켈 변환		$t\,J_\nu(ut)$	$0\,$	$\infty\,$	$u\,J_\nu(ut)$	$0\,$	$\infty\,$
아벨 변환		$\frac{2t}{\sqrt{t^2-u^2}}$	$u\,$	$\infty\,$	$\frac{-1}{\pi\sqrt{u^2\!-\!t^2}}\frac{d}{du}$	$t\,$	$\infty\,$
힐버트 변환	$\mathcal{H}il$	$\frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t}$	$-\infty\,$	$\infty\,$	$\frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t}$	$-\infty\,$	$\infty\,$
푸아송 핵		$\frac{1-r^2}{1-2r\cos\theta +r^2}$	$0\,$	$2\pi\,$
동일 변환		$\delta (u-t)\,$	$t_1<u\,$	$t_2>u\,$	$\delta (t-u)\,$	$u_1\!<\!t$	$u_2\!>\!t$