적분 변환

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적분 변환(Integral transform)은 다음과 같은 형태로 표현할 수 있는 변환 T를 말한다.

 (Tf)(u) = \int_{t_1}^{t_2} K(t, u)\, f(t)\, dt

여기에서 T의 입력은 함수 f이며, 출력은 다른 함수 Tf가 된다. 이때 사용되는 함수 K(t, u)핵함수(kernel function)이라고 부른다.

일부 핵함수의 경우는 그와 연관되는 K^{-1}(u, t)가 존재하여, f(t) = \int_{u_1}^{u_2} K^{-1}(u, t) (Tf)(u) du과 같은 역변환이 가능하게 된다.

적분 변환 표[편집]

적분 변환 목록
변환 기호 K t1 t2 K^{-1} u1 u2
푸리에 변환 \mathcal{F} \frac{e^{-iut}}{\sqrt{2 \pi}} -\infty\, \infty\, \frac{e^{+iut}}{\sqrt{2 \pi}} -\infty\, \infty\,
하틀리 변환 \mathcal{H} \frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}} -\infty\, \infty\, \frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}} -\infty\, \infty\,
멜린 변환 \mathcal{M} t^{u-1}\, 0\, \infty\, \frac{t^{-u}}{2\pi i}\, c\!-\!i\infty c\!+\!i\infty
양측 라플라스 변환 \mathcal{B} e^{-ut}\, -\infty\, \infty\, \frac{e^{+ut}}{2\pi i} c\!-\!i\infty c\!+\!i\infty
라플라스 변환 \mathcal{L} e^{-ut}\, 0\, \infty\, \frac{e^{+ut}}{2\pi i} c\!-\!i\infty c\!+\!i\infty
바이어슈트라스 변환 \mathcal{W} \frac{e^{-(u-t)^2/4}}{\sqrt{4\pi}}\, -\infty\, \infty\, \frac{e^{+(u-t)^2/4}}{i\sqrt{4\pi}} c\!-\!i\infty c\!+\!i\infty
한켈 변환 t\,J_\nu(ut) 0\, \infty\, u\,J_\nu(ut) 0\, \infty\,
아벨 변환 \frac{2t}{\sqrt{t^2-u^2}} u\, \infty\, \frac{-1}{\pi\sqrt{u^2\!-\!t^2}}\frac{d}{du} t\, \infty\,
힐버트 변환 \mathcal{H}il \frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t} -\infty\, \infty\, \frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t} -\infty\, \infty\,
푸아송 핵 \frac{1-r^2}{1-2r\cos\theta +r^2} 0\, 2\pi\,
동일 변환 \delta (u-t)\, t_1<u\, t_2>u\, \delta (t-u)\, u_1\!<\!t u_2\!>\!t