상미분 방정식

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상미분 방정식(常微分方程式, ordinary differential equation, ODE)은 미분 방정식의 일종으로, 구하려는 함수가 하나의 독립 변수만을 가지고 있는 경우를 가리킨다.

예를 들어, 뉴턴의 제2 운동법칙은 상미분 방정식으로 나타낼 수 있는데, 어떤 시간 t에 대하여 거리가 x(t), 의 크기가 F인 경우 운동법칙을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

m \frac{d^2 x(t)}{dt^2} = F(x(t))

상미분 방정식은 여러 분야에서 이용된다. 아이작 뉴턴, 라이프니츠, 베르누이 일가, 야코포 리카티(Jacopo Riccati), 알렉시스 클레로(Alexis Clairaut), 달랑베르(Jean le Rond d'Alembert), 레온하르트 오일러 등 여러 수학자들이 미분방정식 분야의 발전에 기여했다.

상미분 방정식이 선형인 경우는 해석적인 방법으로 풀 수 있는 반면, 비선형인 경우에는 일반적인 해를 구하는 것이 힘들거나 불가능하다. 이러한 경우 근사적인 해를 구하는 접근법도 연구되고 있다.

편미분 방정식은 여러 변수에 대한 함수를 편미분하는 형식을 취하고 있으며, 이는 상미분 방정식과는 구별된다.

정의[편집]

변수 x에 대한 함수 y(x)에 대해, x, y, y의 도함수로 구성된 어떤 방정식이

F(x,\ y(x),\ y'(x),\ \cdots,\ y^{(n-1)}(x)) = y^{(n)}(x)

와 같은 형태로 표현될 수 있는 경우(y^{(k)}는 y의 k차 도함수), 이 방정식을 n차 상미분 방정식이라고 정의한다.

만약 방정식이

 F(x,\ y(x),\ y'(x),\ y''(x),\ \cdots,\ y^{(n-1)}(x))=0

의 모양으로 표현된다면 이를 내재적 형태(implicit form)라고 한다. 이에 반해 첫 번째 식의 경우는 명시적 형태(explicit form)라고 한다.

상미분 방정식이 y 도함수의 선형 결합인 경우, 즉

y^{(n)} = \sum_{i=1}^{n-1} a_i(x) y^{(i)} + r(x)

의 꼴로 표현할 수 있는 경우 이 상미분 방정식은 선형이라고 정의한다.

여기서 ai(x)와 r(x)는, 변수 x에 대한 연속함수이다. 함수 r(x) 는 초항(source term)이라 부르며, 만약 r(x)=0 이라면 이 선형 미분방정식은 동차 선형 미분방정식(Homogeneous linear differential equation)이라고 한다.

선형 상미분 방정식[편집]

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제차 선형 상미분 방정식[편집]

1계 제차 선형 상미분 방정식[편집]

y'+p\left( x \right)y=0

와 같은 1계 제차 선형 상미분 방를 통해

\frac{dy}{y}=-p\left( x \right)dx

로 나타낼 수 있고, 적분을 통해 아래와 같이 나타낼 수 있다.

\ln \left| y \right|=-\int_{{}}^{{}}{p\left( x \right)dx+c*}

따라서 아래의 식으로 손쉽게 1계 제차 선형 상미분 방정식의 해를 구할 수 있다.

y\left( x \right)=ce^{-\int_{{}}^{{}}{p\left( x \right)dx}}, (y\ne 0이면, c=\pm e^{c*})

이때, c=0이면 자명한 해 y(x)=0를 얻는다.

2계 제차 선형 상미분 방정식[편집]

2계 선형 상미분방정식은 역학, 파동, 열전도 등에서 많이 이용된다. 다음 식으로 표현되는 2계 제차 선형 상미분 방정식은

y''+ay'+by=0

은 다음과 같은 특성방정식(characteristic equation; 보조방정식)을 이용해 특성을 알아내고, 그 해를 구할 수 있다.

\lambda ^{2}+a\lambda +b=0

특성방정식의 각각의 경우에 대한 일반해 및 설명은 아래 표와 같다.

case 기저 일반해
a^{2}-4b>0 서로 다른 실근 \lambda _{1},\lambda _{2} e^{\lambda _{1}x},e^{\lambda _{2}x} y=c_{1}e^{\lambda _{1}x}+c_{2}e^{\lambda _{2}x}
a^{2}-4b=0 실이중근\lambda =-\frac{1}{2}a e^{-ax/2},xe^{-ax/2} y=\left( c_{1}+c_{2}x \right)e^{-ax/2}
a^{2}-4b<0 공액복소수\begin{align}
  & \lambda _{1}=-\frac{1}{2}a+i\omega , \\ 
 & \lambda _{2}=-\frac{1}{2}a-i\omega  \\ 
\end{align} \begin{align} & e^{-ax/2}\cos \omega x \\  & e^{-ax/2}\sin \omega x \\ \end{align} y=e^{-ax/2}\left( A\cos \omega x+B\sin \omega x \right)

비제차 선형 상미분 방정식[편집]

비제차 상미분 방정식은

y^{\left( n \right)}+a_{n-1}y^{\left( n-1 \right)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=r\left( x \right)

와 같이 우항의 r\left( x \right)\ne 0가 '0'이 아닌 경우를 말한다. 비제차 상미분 방정식의 일반해는

y\left( x \right)=y_{h}\left( x \right)+y_{p}\left( x \right)

와 같은 형태이다.

비제차 상미분 방정식을 풀이하는 방법에는 다음의 방법들이 있다.

미정계수법[편집]

  1. 비제차 상미분 방정식의 r\left( x \right)를 배제하고, 제차방정식이라 생각하고 그 식의 일반해 y_{h}\left( x \right)를 구한다.
  2. 우항의 r\left( x \right)미정계수법 표에서 찾아 적당한 것을 택해 풀이한다.

매개변수변환법[편집]

그린 함수방법[편집]

비선형 상미분 방정식[편집]

선형이 아닌 상미분 방정식을 비선형(nonlinear) 상미분 방정식이라 부른다. 비선형 상미분 방정식의 는 선형방정식에 비해 매우 복잡한 편이다.

비선형 상미분 방정식의 예
비선형 상미분 방정식 풀이 방법

널리 알려진 상미분 방정식[편집]

참고 문헌[편집]