코시-오일러 방정식

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코시-오일러 방정식(혹은 오일러-코시 방정식: Euler-Cauchy equation)은

x^{2}y''+axy'+by=0

와 같은 선형 상미분방정식인데, 주어진 상수 a와 b 그리고 y(x)를 가진다.

y=x^{m}

이라고 하고, 첫 번째 식에 대입하면,

x^{2}m(m-1)x^{m-2}+axmx^{m-1}+bx^{m}=0

이 되고, x\ne0일 때 공통인자 x^{m}을 제거하면,

m^{2}+(a-1)m+b=0

이 된다.

여기서 m에 따라 미분방정식의 해를 구할 수 있다.

case
서로 다른 두 실근 y=c_{1}x^{m_{1}}+c_{2}x^{m_{2}}
중근 y=\left( c_{1}+c_{2}\ln x \right)x^{m}
공액 복소근 y=x^{u}\left[A\cos\left(v\ln x\right)+B\sin\left(v\ln x\right)\right], m_{1}=u+iv, m_{2}=u-iv

참고 도서[편집]

  • Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics 8th ed.》. John Wiley & Sons, INC.. ISBN 0-471-15496-2