코시-오일러 방정식

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코시-오일러 방정식(영어: Cauchy–Euler equation)은 선형 동차 상미분 방정식이다.

정의[편집]

n코시-오일러 방정식은 미지 함수 y(x)에 대한, 다음과 같은 n상미분 방정식이다.

a_nx^n y^{(n)}(x) + a_{n-1}x^{n-1} y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_0 y(x) = 0

여기서 a_0,\dots,a_n은 주어진 계수들이다.

2차 코시-오일러 방정식[편집]

2차 코시-오일러 방정식은 다음과 같다.

x^{2}y''+axy'+by=0

이늗 다음과 같이 풀 수 있다. 우선 다음과 같은 가설 풀이를 사용하자.

y=x^{m}

이를 첫 번째 식에 대입하면,

x^{2}m(m-1)x^{m-2}+axmx^{m-1}+bx^{m}=0

이 되고, x\ne0일 때 공통인자 x^{m}을 제거하면,

m^{2}+(a-1)m+b=0

이 된다.

여기서 m에 따라 미분방정식의 해를 구할 수 있다.

근의 수
서로 다른 두 실근 y=c_{1}x^{m_{1}}+c_{2}x^{m_{2}}
중근 y=\left( c_{1}+c_{2}\ln x \right)x^{m}
공액 복소근 y=x^{u}\left[A\cos\left(v\ln x\right)+B\sin\left(v\ln x\right)\right], m_{1}=u+iv, m_{2}=u-iv

참고 도서[편집]

  • Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics 8th ed.》. John Wiley & Sons, INC.. ISBN 0-471-15496-2