코시-오일러 방정식

코시-오일러 방정식(영어: Cauchy–Euler equation)은 선형 동차 상미분 방정식이다.

정의

n차 코시-오일러 방정식은 미지 함수 $y(x)$에 대한, 다음과 같은 n차 상미분 방정식이다.

$a_{n}x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}y(x)=0$

여기서 $a_{0},\dots ,a_{n}$은 주어진 계수들이다.

2차 코시-오일러 방정식

2차 코시-오일러 방정식은 다음과 같다.

$x^{2}y''+axy'+by=0$

이는 다음과 같이 풀 수 있다. 우선 다음과 같은 가설 풀이를 사용하자.

$y=x^{m}$

이를 첫 번째 식에 대입하면,

$x^{2}m(m-1)x^{m-2}+axmx^{m-1}+bx^{m}=0$

이 되고, $x\neq 0$일 때 공통인자 $x^{m}$을 제거하면,

$m^{2}+(a-1)m+b=0$

이 된다.

여기서 $m$에 따라 미분방정식의 해를 구할 수 있다.

근의 수	해
서로 다른 두 실근	$y=c_{1}x^{m_{1}}+c_{2}x^{m_{2}}$
중근	$y=\left(c_{1}+c_{2}\ln x\right)x^{m}$
공역 복소근	$y=x^{u}\left[A\cos \left(v\ln x\right)+B\sin \left(v\ln x\right)\right],m_{1}=u+iv,m_{2}=u-iv$

참고 도서

• Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics 8th ed.》. John Wiley & Sons, INC. ISBN 0-471-15496-2.