코시-오일러 방정식

코시-오일러 방정식(혹은 오일러-코시 방정식: Euler-Cauchy equation)은

$x^{2}y''+axy'+by=0$

와 같은 선형 상미분방정식인데, 주어진 상수 a와 b 그리고 y(x)를 가진다.

$y=x^{m}$

이라고 하고, 첫 번째 식에 대입하면,

$x^{2}m(m-1)x^{m-2}+axmx^{m-1}+bx^{m}=0$

이 되고, $x\ne0$ 일 때 공통인자 $x^{m}$ 을 제거하면,

$m^{2}+(a-1)m+b=0$

이 된다.

여기서 $m$ 에 따라 미분방정식의 해를 구할 수 있다.

case	해
서로 다른 두 실근	$y=c_{1}x^{m_{1}}+c_{2}x^{m_{2}}$
중근	$y=\left( c_{1}+c_{2}\ln x \right)x^{m}$
공액 복소근	$y=x^{u}\left[A\cos\left(v\ln x\right)+B\sin\left(v\ln x\right)\right], m_{1}=u+iv, m_{2}=u-iv$

참고 도서 [편집]

Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics 8th ed.》. John Wiley & Sons, INC.. ISBN 0-471-15496-2