론스키 행렬식

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미적분학
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론스키 행렬식(Wroński行列式, 영어: Wronskian)[1] 또는 브론스키 행렬식 또는 론스키안선형대수학미적분학, 미분기하학 등에서 사용되는 식으로, 유한함수들의 집합이 일차독립인지를 판별하는 도구이다.

정의[편집]

어떤 구간 I에서 정의된 n개의 함수 {f_1, f_2, ..., f_n} 가 존재하여 모두 I를 포함하는 열린 집합에서 정칙복소함수이거나 n-1번 미분 가능한 함수라고 하자.(섞여도 된다) 그러면 I에서 이 집합의 론스키 행렬식은 다음과 같은 행렬식으로 정의된다.[2]:293-294


W(f_1, \ldots, f_n) (x)=
\begin{vmatrix} 
f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x) \\
f_1'(x) & f_2'(x) & \cdots & f_n' (x)\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f_1^{(n-1)}(x)& f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x)
\end{vmatrix},\qquad x\in I.

성질[편집]

만약 이상의 구간 I에서 집합의 론스키 행렬식이 항상 0이 아니면, 이 집합은 일차독립이 된다.[2] 왜냐하면, 만약 이 집합이 I에서 일차종속이라면 I에서 모두는 0이 아닌 계수 k_1, ..., k_n에 대해 다음 식이 성립하는데,

k_1f_1(x) + ... + k_nf_n(x) = 0

이를 n-1번 미분한 모든 식을 이용해 함수식을 행렬로 만들고 계수로 묶으면,


0 =
\begin{pmatrix} 
f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x) \\
f_1'(x) & f_2'(x) & \cdots & f_n' (x)\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f_1^{(n-1)}(x)& f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x)
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 
k_1 \\
k_2 \\
\vdots \\
k_n
\end{pmatrix},\qquad x\in I.

이 된다. 그런데 이때 k_1, ..., k_n은 조건에 의해 자명하지 않은 해를 가지므로 I에서 이 행렬의 행렬식은 0이 된다. 이로부터 결과를 얻는다.

역사[편집]

폴란드수학자 유제프 마리아 브론스키(Józef Maria Hoene-Wroński)가 도입하였다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  1. 대한수학회 용어집에 따름.
  2. (한국어) Anton, Howard (2006년). 《알기쉬운 선형대수》, 이장우 역, 범한서적