론스키 행렬식

론스키 행렬식(Wronskian, -行列式) 또는 론스키안은 선형대수학과 미적분학, 미분기하학 등에서 사용되는 식으로, 유한 개 함수들의 집합이 일차독립인지를 판별하는 도구이다. 폴란드의 수학자 유제프 마리아 브론스키(Józef Maria Hoene-Wroński)가 도입하였다.

정의

어떤 구간 I에서 정의된 n개의 함수 {$f_1, f_2, ..., f_n$} 가 존재하여 모두 I를 포함하는 열린 집합에서 정칙인 복소함수이거나 n-1번 미분 가능한 실함수라고 하자.(섞여도 된다) 그러면 I에서 이 집합의 론스키 행렬식은 다음과 같은 행렬식으로 정의된다.

$W(f_1, \ldots, f_n) (x)= \begin{vmatrix} f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x) \\ f_1'(x) & f_2'(x) & \cdots & f_n' (x)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{(n-1)}(x)& f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x) \end{vmatrix},\qquad x\in I.$

성질

만약 이상의 구간 I에서 집합의 론스키 행렬식이 항상 0이 아니면, 이 집합은 일차독립이 된다. 왜냐하면, 만약 이 집합이 I에서 일차종속이라면 I에서 모두는 0이 아닌 계수 $k_1, ..., k_n$에 대해 다음 식이 성립하는데,

$k_1f_1(x) + ... + k_nf_n(x) = 0$

이를 n-1번 미분한 모든 식을 이용해 함수식을 행렬로 만들고 계수로 묶으면,

$0 = \begin{pmatrix} f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x) \\ f_1'(x) & f_2'(x) & \cdots & f_n' (x)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{(n-1)}(x)& f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_n \end{pmatrix},\qquad x\in I.$

이 된다. 그런데 이때 $k_1, ..., k_n$은 조건에 의해 자명하지 않은 해를 가지므로 I에서 이 행렬의 행렬식은 0이 된다. 이로부터 결과를 얻는다.

같이 보기

• 아벨의 항등식
• 방데르몽드 행렬

참고 문헌

• Howard Anton, 이장우 역, 《알기쉬운 선형대수》, 범한서적주식회사, 2006.