매개변수변환법

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매개변수변환법(媒介變數變換法, 영어: variation of parameters)은 비제차 상미분 방정식을 푸는 방법이다.

정의[편집]

비제차 선형 상미분 방정식은 다음과 같이 표현될 수 있다.

y^{\left( n \right)}+a_{n-1}y^{\left( n-1 \right)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=r\left( x \right)

위의 식은

y\left( x \right)=y_{h}\left( x \right)+y_{p}\left( x \right)

와 같은 일반해를 갖게 되는데, 매개변수변환법은 y_{p}\left( x \right)를 구하는 방법이다.

y_{p}\left( x \right)가 특정 형태를 가질 경우에는 미정계수법으로도 구할 수 있으나 r\left( x \right)미정계수법 표에 소개된 것과 비슷한 형태를 가질때만 사용할 수 있는 단점이 있다. 이에 비해 매개변수변환법은 더 일반적으로 적용할 수 있는 장점이 있다.

고계 미분 방정식[편집]

n이 2보다 큰 고계일 때, y_{p}\left( x \right)를 구하는 방법은 다음과 같다.

\begin{align}
  & y_{p}\left( x \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{y_{k}\left( x \right)\int_{{}}^{{}}{\frac{W_{k}\left( x \right)}{W\left( x \right)}r\left( x \right)dx}} \\ 
 & =y_{1}\left( x \right)\int_{{}}^{{}}{\frac{W_{1}}{W\left( x \right)}r\left( x \right)dx+\cdots +y_{n}\left( x \right)\int_{{}}^{{}}{\frac{W_{n}\left( x \right)}{W\left( x \right)}r\left( x \right)dx}}  
\end{align}

W는 이 함수들의 론스키 행렬식이고, W_{j}\left( j=1,\cdots ,n \right)Wj번째 열을 열벡터 \left[ \begin{matrix}
   0 & 0 & \cdots  & 0 & 1  \\
\end{matrix} \right]^{T}로 치환하여 얻어진다.

2계 미분 방정식[편집]

n이 2일 때, y_{p}\left( x \right)를 구하는 방법은 다음과 같다.

y_{p}\left( x \right)=-y_{1}\int_{{}}^{{}}{\frac{y_{2}r}{W}dx+y_{2}\int_{{}}^{{}}{\frac{y_{1}r}{W}dx}}

여기서 y_{1},y_{2}는 대응하는 제차 상미분 방정식의 해이고, Wy_{1},y_{2}론스키 행렬식이다.

W=y_{1}y_{2}'-y_{2}y_{1}'

바깥 고리[편집]