매개변수변환법

매개변수변환법(variation of parameters)은 비제차 상미분 방정식을 푸는 방법이다. 비제차 선형 상미분 방정식은 다음과 같이 표현될 수 있다.

$y^{\left( n \right)}+a_{n-1}y^{\left( n-1 \right)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=r\left( x \right)$

위의 식은

$y\left( x \right)=y_{h}\left( x \right)+y_{p}\left( x \right)$

와 같은 일반해를 갖게 되는데, 매개변수변환법은 $y_{p}\left( x \right)$를 구하는 방법이다.

$y_{p}\left( x \right)$가 특정 형태를 가질 경우에는 미정계수법으로도 구할 수 있으나 $r\left( x \right)$가 미정계수법 표에 소개된 것과 비슷한 형태를 가질때만 사용할 수 있는 단점이 있다. 이에 비해 매개변수변환법은 더 일반적으로 적용할 수 있는 장점이 있다.

미분방정식이 고계일 때

$n$이 2보다 큰 고계일 때, $y_{p}\left( x \right)$를 구하는 방법은 다음과 같다.

$\begin{align} & y_{p}\left( x \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{y_{k}\left( x \right)\int_{{}}^{{}}{\frac{W_{k}\left( x \right)}{W\left( x \right)}r\left( x \right)dx}} \\ & =y_{1}\left( x \right)\int_{{}}^{{}}{\frac{W_{1}}{W\left( x \right)}r\left( x \right)dx+\cdots +y_{n}\left( x \right)\int_{{}}^{{}}{\frac{W_{n}\left( x \right)}{W\left( x \right)}r\left( x \right)dx}} \end{align}$

$W$는 이 함수들의 Wronskian이고, $W_{j}\left( j=1,\cdots ,n \right)$는 $W$의 j번째 열을 열벡터 $\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]^{T}$로 치환하여 얻어진다.

미분방정식이 이계일 때

$n$이 2일 때, $y_{p}\left( x \right)$를 구하는 방법은 다음과 같다.

$y_{p}\left( x \right)=-y_{1}\int_{{}}^{{}}{\frac{y_{2}r}{W}dx+y_{2}\int_{{}}^{{}}{\frac{y_{1}r}{W}dx}}$

여기서 $y_{1},y_{2}$는 대응하는 제차상미분방정식이 해이고, $W$는 $y_{1},y_{2}$의 Wronskian이다.

$W=y_{1}y_{2}'-y_{2}y_{1}'$