연속 방정식

물리학에서 연속 방정식(continuity equation)은 어떤 물리량이 보존되는 상태로 이송되는 것을 기술하는 방정식이다. 질량, 운동량, 에너지 등이 보존되는 양이기 때문에 수많은 물리적 현상들이 연속 방정식에 의해 기술될 수 있다.

일반적인 형태

연속 방정식의 일반적인 형태는 다음과 같다.

${\partial \varphi \over \partial t} + \nabla \cdot f = s$

여기에서 $\varphi$는 주어진 물리량이고, $f$는 그 물리량의 flux를 나타내는 함수이며, $s$는 그 물리량이 생성되거나 감소되는 양을 나타낸다. 위 방정식은 미소 체적 내의 flux를 고려함으로써 유도할 수 있다.

유체역학

유체 동역학에서 연속 방정식은 질량 보존의 법칙을 수학적으로 나타낸 것이다. 미분방정식 형태로 나타내면 다음 식과 같다.

${\partial \rho \over \partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf u) = 0$

여기서, $\rho$는 유체의 밀도, $t$는 시간, $\mathbf u$는 유체의 속도이다. 비압축성 유체에서는 $\rho$가 상수이며, 밀도가 시간에 따라 변하지 않을때(steady-state) 질량에 대한 연속 방정식은 다음 식과 같이 체적에 대한 연속 방정식이 된다.

$\nabla \cdot \mathbf u = 0$

위 식의 의미는, 모든 지점에서 속도의 divergence가 0이라는 뜻이다.

한편, 나비에-스토크스 방정식은 선운동량 보존(같이 보기 : 운동량)에 대한 벡터 연속 방정식이다.

전자기학

이 부분의 본문은 전하량 보존입니다.

전자기학에서, 연속 방정식은 (국소적) 전하량 보존을 나타내는 법칙으로 나타내거나, 또는 두 맥스웰 방정식들의 결과로 유도될 수 있다. 전류 밀도의 발산이 전하 밀도의 변화의 감소율과 같다는 것을 나타낸다.

$\nabla \cdot \mathbf{J} = - {\partial \rho \over \partial t}.$

맥스웰 방정식의 유도

맥스웰 방정식중의 하나인, 앙페르의 법칙은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + {\partial \mathbf{D} \over \partial t}.$

양변에 미분을 취하면,

$\nabla \cdot \nabla \times \mathbf{H} = \nabla \cdot \mathbf{J} + {\partial \nabla \cdot \mathbf{D} \over \partial t},$

여기에서, 회전의 발산(divergence of a curl) 은 영이 되므로, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\nabla \cdot \mathbf{J} + {\partial \nabla \cdot \mathbf{D} \over \partial t} = 0. \qquad \qquad (1)$

또다른 맥스웰 방정식인, 가우스의 법칙은 다음과 같다.

$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho.\,$

여기에 식(1)을 대입하면 다음 식이 나온다.

$\nabla \cdot \mathbf{J} + {\partial \rho \over \partial t} = 0,\,$

이것이 연속 방정식이다.

해석

전류 밀도는 전하 밀도의 움직임이다. 연속방정식은, 만약 전하가 공간 밖으로 빠져나가면 (즉, 전류 밀도의 발산이 양수 이면), 공간 내의 전하량은 감소한다. 그리하여, 전하 밀도의 변화률이 음수가 된다. 그러므로, 연속 방정식은 보전되는 전하량은 나타낸다.

양자역학

양자역학에서, 확률의 보존은 연속 방정식을 만들어 낸다. P(x, t)를 확률 밀도 함수 라 하면, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\nabla \cdot \mathbf{j} = -{ \partial \over \partial t} P(x,t)$

여기에서, j 는 확률흐름(probability flux)을 의미한다.

같이 보기

• 보존 법칙
• 오일러 방정식